CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES


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1 APUNTES MAT 4 CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES CÁLCULO VECTORIAL 17 Salomón Alarcón Araneda

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3 Salomón Alarcón Araneda APUNTES MAT 4 CÁLCULO INTEGRAL EN VARIAS VARIABLES. CÁLCULO VECTORIAL.. Esta versión contiene: Más de 1 ejemplos desarrollados, más de 9 ilustraciones y más de 1 ejercicios propuestos con su respuesta... Versión actualizada el de Noviembre de 17

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5 Prefacio Estimados alumnos, en el contexto de la asignatura MAT 4 que se dicta en nuestra Universidad, me es grato presentar esta versión actualizada de mis apuntes que contienen tópicos de Cálculo Integral en varias variables y Cálculo Vectorial, la cual incluye correcciones de la versión anterior. El principal objetivo de estas notas es ofrecer un material de consulta acorde a los contenidos tratados en clases. Es importante señalar que estos apuntes no reemplazan a los libros de la Bibliografía del programa de la asignatura, ni tampoco a los que cito en la Bibliografía al finalizar estos apuntes. Por esta razón, recomiendo revisar aquellos libros con la finalidad que puedan profundizar en el estudio de los contenidos aquí tratados y, de esta forma, puedan conocer puntos de vista diferentes a los expuestos aquí. Agradezco desde ya los comentarios y sugerencias que ustedes puedan hacerme llegar para mejorar estas notas y corregir erratas que puedan existir. Para ello, pueden contactarme por correo a: Espero que este material les sea de utilidad. Atte. Salomón Alarcón Araneda. Valparaíso, 1 de Marzo de 17 I

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7 Índice general Prefacio Índice general I III I Cálculo integral en varias variables 1 1. Funciones definidas por una integral Funciones definidas por una integral definida Funciones definidas por una integral impropia La integral de Riemann en R N Definición y existencia de la integral múltiple Conjuntos de medida cero, conjuntos compactos e integrabilidad en R N Propiedades de la integración múltiple La integral de Riemann en R Evaluación de integrales múltiples de Riemann Evaluación de integrales dobles sobre rectángulos Evaluación de integrales dobles sobre dominios más generales Evaluación de integrales múltiples de Riemann Evaluación de integrales múltiples de Riemann sobre dominios más generales Cambio de variable en integrales múltiples Difeomorfismos El teorema del cambio de variable Integración doble en coordenadas polares Integración triple en coordenadas cilíndricas Integración triple en coordenadas esféricas Integración triple en coordenadas toroidales Integración múltiple impropia Aplicaciones de la integración múltiple III

8 ÍNDICE GENERAL.5.1. Masa, centro de masa y momentos en R Masa, centro de masa y momentos en R II Cálculo vectorial Curvas en R y en R Funciones vectoriales Curvas en R y en R Extensión de una curva Preservación de la orientación de una curva Curvas paramétricamente equivalentes Longitud de arco. Parametrización natural Geometría de curvas Preliminares Vector tangente Vector normal y curvatura Torsión y vector Binormal Diedro móvil, triedro móvil y fórmulas de Frenet-Serret Integral de línea de un campo escalar Aplicaciones de la integral de línea de un campo escalar Masa Centro de masa y momentos en R Centro de masa y momentos en R Integral de línea de un campo vectorial Aplicaciones de la integral de línea de un campo vectorial Trabajo Flujo y circulación Campos conservativos e independencia de la trayectoria El gradiente y sus propiedades Función potencial. Campos conservativos Conjuntos conexos y convexos El rotor y sus propiedades Integral de línea de un campo vectorial independiente de la trayectoria El Teorema de Green Superficies en R Superficies en R Área de una superficie IV

9 ÍNDICE GENERAL 4.. Integrales de superficie de campos escalares Aplicaciones de la integral de superficie de un campo escalar Masa, centro de masa y momentos de una superficie Integrales de superficie sobre campos vectoriales Aplicaciones de la integral de superficie sobre un campo vectorial Flujo Teorema de Stokes El Teorema de Gauss La divergencia y sus propiedades El Teorema de Gauss A. Soluciones de los Ejercicios 41 Bibliografía 51 V

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11 Parte I Cálculo integral en varias variables 1

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13 Capítulo 1 Funciones definidas por una integral En el presente capítulo estudiamos las propiedades de continuidad, derivabilidad e integrabilidad de funciones de la forma F x fx, y dy, donde f : I J R R es una función e I, J son intervalos en R. J 1.1. Funciones definidas por una integral definida Si f : [a, b] [c, d] R es una función continua sobre [a, b] [c, d], entonces para cada x fijo en [a, b], la función fx, resulta continua y acotada en [c, d], entendiendo la continuidad en los extremos c y d como continuidad por derecha y por izquierda respectivamente, por lo que f resulta ser Riemann-integrable sobre el intervalo [c, d], obteniéndose el número real que depende del parámetro x. d c fx, y dy, TEOREMA Continuidad de una función definida por una integral Sea f : [a, b] [c, d] R una función continua sobre [a, b] [c, d]. Entonces la función F : [a, b] R definida por x F x es continua sobre [a, b]. d c fx, y dy Demostración. Sea ε > dado y sea x [a, b] fijo, pero escogido arbitrariamente. Queremos probar que δ > tal que x [a, b] x x < δ F x F x < ε. Por continuidad de f sobre [a, b] [c, d], para cada y [c, d] tenemos que existe δ y δx, y > 3

14 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda tal que x, η [a, b] [c, d] máx{ x x, η y } < δ y fx, η fx, y < ε. 1.1 d c Notemos ahora que como [c, d] es un conjunto cerrado y acotado en R, entonces existen puntos y 1, y,..., y n en [c, d] y respectivos valores positivos δ y1, δ y,..., δ yn tales que [c, d] n ]y i δ yi, y i + δ yi [. i1 De esta forma, para cada y [c, d], existe algún i {1,,..., n} tal que y ]y i δ yi, y i + δ yi [, y escogiendo ahora δ mín{δ y1, δ y,..., δ yn } y la δ vecindad de x, obtenemos que V x {x [a, b] : x x < δ} ]x δ, x + δ[, x, η [a, b] [c, d] x, η ]x δ, x + δ[ ]y i δ yi, y i + δ yi [ máx{ x x, η y i } < δ yi. Luego, dado η [c, d] podemos poner η y en 1.1 y obtener x [a, b] x x < δ fx, y fx, y < ε, d c de donde se sigue que si x [a, b] y x x < δ, entonces F x F x < d c d c d c ε. fx, y fx, y dy fx, y fx, y dy ε d c dy OBSERVACIÓN El Teorema de la continuidad de una función definida por una integral, también es conocido por el nombre de Teorema del paso del límite bajo el signo integral, pues por la continuidad de la función F definida en el enunciado del Teorema 1.1.1, para cada x [a, b] se verifica que d lím x x c fx, y dy lím x x F x F x d c fx, y dy d c lím fx, y dy. x x 4 Esta versión puede contener errores

15 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 1.1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL DEFINIDA Antes de estudiar condiciones para la derivabilidad de una función definida por una integral, probaremos el siguiente lema el cual será de utilidad en nuestro estudio, y en el que consideramos una función g : [α, β] R derivable en [α, β], entendiendo las derivadas en los extremos α y β como derivadas por derecha y por izquierda respectivamente. LEMA Sea g : [α, β] R una función derivable sobre [α, β]. Entonces, para cada x [α, β] se verifica que gβ gα g x β α β α sup g x g x. x [α,β] Demostración. Sea x [α, β]. Como g es derivable sobre [α, β], entonces existe g x y g resulta ser continua sobre [α, β]. Luego, desde el Teorema del valor medio se sigue que existe ξ ]α, β[ tal que gβ gα g ξβ α gβ gα g x β α g ξβ α g x β α y como la conclusión es inmediata. gβ gα g x β α g ξ g x β α, g ξ g x sup g x g x, x [α,β] TEOREMA 1.1. Derivabilidad de una función definida por una integral Sea f : [a, b] [c, d] R una función continua sobre [a, b] [c, d]. Si f x existe y es continua sobre [a, b] [c, d], entonces la función F : [a, b] R definida por x F x es derivable sobre [a, b]. Más aún, se verifica que F x d c d c fx, y dy f x, y dy. x Demostración. Sea ε > dado y sea x [a, b[ fijo, pero arbitrario. Gracias a la continuidad de f x en [a, b] [c, d], para cada y [c, d] tenemos que existe δ y δx, y > tal que x, y [a, b] [c, d] x x < δ y Por otro lado, para < h < δ y, desde el Lema obtenemos fx + h, y fx, y f x x, y h h sup f f x, y x x x, y < x [x,x +h] h ε d c. ε d c. f f x, y x x x, y 5 Esta versión puede contener errores

16 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Un resultado análogo es obtenido si x ]a, b] y δ y < h <. De esta forma, independientemente del signo de h, tenemos que si x ]a, b[, entonces < h < δ y fx + h, y fx, y f x x, y h h ε d c, teniendo en cuenta que lo anterior vale por la derecha si x a y por la izquierda si x b. Luego, para < h < δ y se sigue que d F x f + h F x x x d, y dy h fx + h, y fx, y f x x, y h dy c c d c ε h, ε h d c dy de donde deducimos que F es derivable en x y que su derivada es F x d c f x x, y dy. OBSERVACIÓN 1.1. El Teorema 1.1. de derivabilidad de una función definida por una integral, también es conocido por el nombre de regla de Leibniz o bien Teorema de derivación bajo el signo integral, pues desde la derivabilidad de la función F definida en el enunciado del Teorema 1.1., se verifica que d d d fx, y dy F f x x, y dy. dx c c x TEOREMA Integrabilidad de una función definida por una integral Sea f : [a, b] [c, d] R una función continua sobre [a, b] [c, d]. Entonces la función F : [a, b] R definida por x F x es integrable sobre [a, b]. Más aún, se verifica que b a F x dx d c d c b Demostración. Sea φ : [a, b] R la función definida por φξ d c ξ a a fx, y dy fx, y dx dy. fx, y dx dy. Entonces, desde el Teorema 1.1. de la Regla de Leibniz se sigue que 6 Esta versión puede contener errores

17 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] φ ξ d c d c F ξ, para cada ξ [a, b], de donde obtenemos que φξ ξ a ξ a 1.1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL DEFINIDA ξ fx, y dx dy ξ a fξ, y dy F x dx + C d para cada ξ [a, b], para alguna constante C. c fx, y dy dx + C, Ahora, como φa, tenemos que C. Por lo tanto, hemos probado que para cada ξ [a, b] se verifica que d c ξ a ξ d fx, y dx dy φξ fx, y dy dx, a c y considerando ξ b, obtenemos el resultado deseado. OBSERVACIÓN El Teorema de integrabilidad de una función definida por una integral, también es conocido por el nombre Teorema de Fubini o Teorema de Fubini-Tonelli para funciones continuas sobre un rectángulo del plano o Teorema de integración bajo el signo integral, pues desde la integrabilidad de la función F definida en el enunciado del Teorema 1.1.3, se verifica que b a d c fx, y dy dx b a F x dx d c b a fx, y dx dy. DEFINICIÓN Sea f : [a, b] [c, d] R una función. i Si la función F x d c fx, y dy es integrable en [a, b], entonces la integral b a F x dx se puede escribir en la forma b d fx, y dy dx. 1. a c ii Si la función Gy b a fx, y dx es integrable en [c, d], entonces la integral d c Gx dx se puede escribir en la forma d b fx, y dx dy. 1.3 Las integrales 1. y 1.3 reciben cada una el nombre de integral iterada. c a 7 Esta versión puede contener errores

18 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda NOTACIÓN Por simplicidad notacional, es usual escribir b d b d fx, y dy dx fx, y dy dx a c d b c a fx, y dx dy a d c c b a fx, y dx dy. EJEMPLO Evalúa la siguiente integral iterada x y y dx dy. Solución. Notemos que la función fx, y x y y es continua en [ 1, 1] [, 3] R. Luego, desde el Teorema de integrabilidad de una función definida por una integral, obtenemos x y y dx dy x y y dx dy x1 3 x3 y xy dy x y 4y dy y3 9 y3 y 1. y EJEMPLO 1.1. Evalúa la siguiente integral iterada π 1 π y cosxy dx dy. Solución. Notemos que la función fx, y y cosxy es continua en [, 1] [ π, π] R. Luego, desde el Teorema de integrabilidad de una función definida por una integral, obtenemos π 1 π 1 y cosxy dx dy y cosxy dx dy π π π π π π senxy sen y dy cos y. yπ y π x1 x dy 8 Esta versión puede contener errores

19 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 1.1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL DEFINIDA EJERCICIOS Calcula, si es posible, el valor de cada una de las siguientes integrales a b c π 1 ye xy dy dx x 4 y + y dy dx x senxy dx dy. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A TEOREMA Regla de Leibniz generalizada Sea f : [a, b] [c, d] R una función continua sobre [a, b] [c, d]. Si f x existe y es continua sobre [a, b] [c, d], y si u : [a, b] R y v : [a, b] R son funciones derivables sobre [a, b] con derivadas continuas sobre [a, b], verificando c ux vx d x [a, b], entonces la función F : [a, b] R definida por x F x es derivable sobre [a, b]. Más aún, se verifica que vx ux fx, y dy F x f x, vx v x f x, ux vx u f x + x, y dy ux x x [a, b]. EJERCICIOS Calcula F si a F x b F x π x sen x y cosxy dy x [, 1] ln1 + xy dy x [, π].. Prueba que si b > a > 1, entonces π b cos x b + b ln dx π ln 1 a cos x a +. a + 1 Sugerencia: Usa la relación, válida para a > 1: π dx a cos x π a 1. Para ver las Soluciones de los Ejercicios 1.1. presiona aquí A 9 Esta versión puede contener errores

20 CAPÍTULO 1. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda 1.. Funciones definidas por una integral impropia DEFINICIÓN 1..1 Sea f : [a, b] [c, [ R una función continua sobre su dominio. Decimos que la integral c fx, y dy converge uniformemente a una función F definida sobre [a, b] si η ε > n nε tal que x [a, b] η > n F x fx, y dx < ε. TEOREMA 1..1 Continuidad de una función definida por una integral impropia Sea f : [a, b] [c, [ R una función continua sobre [a, b] [c, [ tal que c fx, y dy converge uniformemente en [a, b]. Entonces, la función F : [a, b] R definida por es continua sobre [a, b]. x F x c fx, y dy c OBSERVACIÓN 1..1 El Teorema 1..1 de continuidad de una función definida por una integral, impropia también es conocido por el nombre de Teorema del paso del límite bajo el signo integral, pues por la continuidad de la función F definida en el enunciado del Teorema 1..1, para cada x [a, b] se verifica que lím x x c fx, y dy lím x x F x F x c fx, y dy c lím x x fx, y dy. TEOREMA 1.. Derivabilidad de una función definida por una integral impropia Sea f : [a, b] [c, [ R una función tal que f x existe y es continua sobre [a, b] [c, [, que la fx, y dy es convergente y que la integral c integral c en [a, b]. Entonces la función F : [a, b] R definida por x F x es derivable sobre [a, b]. Más aún, se verifica que F x c c fx, y dy f x, y dy. x f x x, y dy converge uniformemente OBSERVACIÓN 1.. El Teorema 1.. de derivabilidad de una función definida por una integral impropia, también es conocido por el nombre de Regla de Leibniz o bien Teorema de derivación bajo el signo integral, pues desde la derivabilidad de la función F definida en el enunciado del Teorema 1.., se verifica que d fx, y dy F f x x, y dy. dx x c c 1 Esta versión puede contener errores

21 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 1.. FUNCIONES DEFINIDAS POR UNA INTEGRAL IMPROPIA TEOREMA 1..3 Integrabilidad de una función definida por una integral impropia Sea f : [a, [ [c, [ R una función continua sobre [a, [ [c, [ y asumamos que las integrales c fx, y dy y a fx, y dx convergen uniformemente en cada intervalo [a, b] la primera y en cada intervalo [c, d] la segunda, y que al menos una de las integrales iteradas o c a fx, y dx dy es convergente. Entonces la función F : [a, [ R definida por x F x es F integrable sobre [a, [. Más aún, se verifica que a F x dx c c a fx, y dy fx, y dx dy. a c fx, y dy dx OBSERVACIÓN 1..3 El Teorema 1..3 de la integrabilidad de una función definida por una integral impropia también es conocido como la versión impropia del Teorema de Fubini o Teorema de Fubini-Tonelli o Teorema de integración impropia bajo el signo integral, pues desde la integrabilidad de la función F definida en el enunciado del Teorema 1..3, se verifica que a c fx, y dy dx a F x dx c a fx, y dx dy. EJERCICIOS Sea y [ 1, 1]. Prueba que π y ln1 + y cos x dx π ln Sugerencia: Considera sobre [ 1, 1], las funciones reales F y π ln1 + y cos x dx y Gy π ln y prueba que F G en [ 1, 1] y que F G para concluir y. Sea g : R R \ {} una función de clase C 1 R; R \ {} y sea f : R R R la función definida por fx, y Para la función F : R R definida por gx sen y y si y gx si y.. encuentra, si es posible, F. x F x 1 fx, y dy, Para ver las Soluciones de los Ejercicios 1..1 presiona aquí A 11 Esta versión puede contener errores

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23 Capítulo La integral de Riemann en R N La integral de Riemann en R N es una extensión de la integral de Riemann en R. Por esta razón, es necesario generalizar algunos conceptos, definiciones y teoremas para obtener otros similares a los ya conocidos en el contexto de la integral de Riemann para funciones de una variable real..1. Definición y existencia de la integral múltiple de Riemann DEFINICIÓN.1.1 Rectángulo en R N Sean a i, b i R, i 1,,..., N, tales que a i b i para todo i 1,,..., N. Llamamos rectángulo en R N a cualquier conjunto R de la forma R [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a N, b N ]. NOTACIÓN.1.1 Un rectángulo R [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a N, b N ], suele denotarse por R [ a, b ] { x x 1, x,..., x N R N : a i x i b i : i 1,,..., N}, donde a a 1, a,..., a N y b b 1, b,..., b N. Es usual referirse a los vectores a y b como los extremos del rectángulo. DEFINICIÓN.1. Medida de un rectángulo en R N Sean a i, b i R, i 1,,..., N, tales que a i b i para todo i 1,,..., N. Llamamos medida o volumen del rectángulo R [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a N, b N ] al valor mr b 1 a 1 b a... b N a N. DEFINICIÓN.1.3 Partición de un rectángulo en R N Sean a i, b i R, i 1,,..., N, tales que a i b i para todo i 1,,..., N. Una partición rectangular P del rectángulo R [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a N, b N ] es un conjunto de la forma P P 1,n1 P,n... P N,nN, donde P i,ni {a i x i, x i 1,..., x i ni 1, x i ni b i } es una partición de [a i, b i ], para algún n i N, i 1,,..., N. 13

24 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda OBSERVACIÓN.1.1 Notemos que toda partición rectangular P de un rectángulo R determina rectángulos R j, j 1,,..., n, tales que R n j1 n n 1 n... n N R j e intr j intr k j k, donde intr j corresponde al producto cartesiano de los intervalos abiertos cuyos extremos son los mismos que aquellos de los intervalos cerrados que definen al producto cartesiano R j, para cada j 1,,..., n. DEFINICIÓN.1.4 Norma de una partición rectangular de un rectángulo en R N Sean a i, b i R, i 1,,..., N, tales que a i b i para todo i 1,,..., N. La norma de la partición rectangular P del rectángulo R [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a N, b N ] corresponde al valor P máx{ P 1,n1, P,n,..., P N,nN }, donde P i,ni máx 1 j n i {x i j x i j 1 }, i 1,,..., N. DEFINICIÓN.1.5 Sumas de Riemann Sea R un rectángulo en R N, sea P una partición rectangular de R, y sea f : R R una función acotada. Si {R i } n i1 es la descomposición de R determinada por P. Llamamos: i Suma de Riemann para la función f respecto de la partición rectangular P del rectángulo R, a una suma de la forma σf, P, n T P f c i mr i, i1 donde T P { c 1, c,..., c n }, con c i R i, i 1,,..., n. ii Suma superior de Riemann para la función f respecto de la partición rectangular P del rectángulo R, al valor donde f x i máx{f x}. x R i Sf, P n f x i mr i, i1 iii Suma inferior de Riemann para la función f respecto de la partición rectangular P del rectángulo R, al valor donde f x i mín x R i {f x}. sf, P n f x i mr i, i1 14 Esta versión puede contener errores

25 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].1. DEFINICIÓN Y EXISTENCIA DE LA INTEGRAL MÚLTIPLE DEFINICIÓN.1.6 Integral superior e inferior de Riemann Sea R un rectángulo en R N y sea f : R R una función acotada. Llamamos: i Integral superior de Riemann de la función f al valor real R f ínf {Sf, P}, P PR ii Integral inferior de Riemann de la función f al valor real f sup {sf, P}, R P PR donde PR { P : P es una partición rectangular de R}. DEFINICIÓN.1.7 Integral de Riemann Sea R un rectángulo en R N y sea f : R R una función acotada. Decimos que f es Riemann-integrable en R si f R Este último valor se denomina integral de Riemann de f en el rectángulo R y se denota simplemente por f. R R f. TEOREMA.1.1 Sea R un rectángulo en R N y sea f : R R una función acotada. Las siguientes propiedades son equivalentes: i f es Riemann-integrable sobre R ii f satisface la condición de Riemann en R; es decir ε > P PR tal que Sf, P sf, P < ε. TEOREMA.1. Integrabilidad de funciones continuas sobre rectángulos Sea R un rectángulo en R N y sea f : R R una función continua sobre su dominio. Entonces f es integrable sobre R. Hasta el momento hemos introducido el concepto de integral de Riemann sobre rectángulos en R N. Sin embargo, nuestro interés es más ambicioso pues deseamos integrar sobre conjuntos de R N más generales. El resto de este capítulo se enfoca en esa dirección. 15 Esta versión puede contener errores

26 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda.1.1. Conjuntos de medida cero, conjuntos compactos e integrabilidad en R N Conjuntos de medida cero en R N DEFINICIÓN.1.8 Conjuntos de medida cero Sea E R N. Decimos que E tiene medida cero o medida nula en R N si para cada ε > existe una sucesión de rectángulos {R i } i1 tales que i E i1 R i ii mr i < ε. i1 EJEMPLO.1.1 Los siguientes conjuntos tienen medida cero en R N : El conjunto vacío Todo subconjunto de un conjunto de medida cero en R N La unión finita de conjuntos de medida cero en R N Toda recta paralela a uno de los ejes coordenados en R N, N. Antes de enunciar un teorema que muestra algunos ejemplos de conjuntos de medida cero, conviene introducir algunas definiciones. DEFINICIÓN.1.9 Conjuntos numerables Sea A R N. Decimos que A es numerable si existe una biyección ϕ : A N. EJEMPLO.1. Cualquier subconjunto de Q N es numerable en R N. DEFINICIÓN.1.1 Unión numerable Sea A R N. Decimos que A es una unión numerable de conjuntos en R N si existe una familia {A i } i I de conjuntos en R N, donde I es algún conjunto numerable, tal que A A i. i I TEOREMA.1.3 Todo conjunto numerable en R N tiene medida cero. Demostración. Sea A R N un conjunto numerable. Entonces, sin pérdida de generalidad podemos suponer que A { a i } i N, con a i a i1, a i,..., a in R N. Sea ahora ε > dado, y para cada n N 16 Esta versión puede contener errores

27 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].1. DEFINICIÓN Y EXISTENCIA DE LA INTEGRAL MÚLTIPLE definamos los rectángulos [ R i a i1 1 N ε 4 i, a i1 + 1 ] [ N ε 4 i a n 1 N ε 4 i, a n + 1 ] [ N ε 4 i... a in 1 N ε 4 i, a in + 1 ] N ε 4 i. Entonces y Notando ahora que mr i 1 A i1 R i N ε i 1 N ε i... 1 N ε i ε i+n mr i i1 concluimos que A tiene medida cero. i1 ε i+n ε N < ε, TEOREMA.1.4 La unión numerable de conjuntos de medida cero en R N tiene medida cero. Demostración. Sea {A n } n N una familia numerable de conjuntos de medida cero en R N, y sea A A n. n1 Sea ahora ε > dado. Como cada A n tiene medida cero, podemos considerar para cada n N una correspondiente sucesión de rectángulos {R in } i N tal que y Luego, como y n1 i1 concluimos que A tiene medida cero. A n i1 n mr in < i1 A mr in n1 i1 n1 R in ε n+1. R in ε n+1 ε < ε, A continuación introducimos a los conjuntos de contenido cero, que son útiles para tener más ejemplos de conjuntos de medida cero. 17 Esta versión puede contener errores

28 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN.1.11 Conjuntos de contenido cero Sea E R N. Decimos que E tiene contenido cero en R N si para cada ε > existe un conjunto finito de rectángulos {R i } n i1 tales que: n i E ii i1 R i n mr i < ε. i1 TEOREMA.1.5 Todo conjunto de contenido cero en R N es acotado. EJEMPLO.1.3 Los siguientes conjuntos tienen contenido cero en R N : El conjunto vacío. Todo subconjunto de un conjunto de contenido cero. La unión finita de conjuntos de contenido cero en R N. Cualquier conjunto acotado de dimensión menor o igual a N 1. Algunos conjuntos en R que tienen contenido cero son aquellos que contienen una cantidad finita de puntos. Algunos conjuntos en R que tienen contenido cero son: los conjuntos que contienen una cantidad finita de puntos; los segmentos de recta de longitud finita; y las líneas curvas continuas y suaves de longitud finita. Algunos conjuntos en R 3 que tienen contenido cero son: los conjuntos que contienen una cantidad finita de puntos; los segmentos de recta de longitud finita; las líneas curvas continuas y suaves de longitud finita; y las superficies suaves y acotadas de cuerpos con volumen. OBSERVACIÓN.1. Todo conjunto de contenido cero en R N tiene medida cero en R N, pero el recíproco no es cierto, tal como lo muestra el siguiente contraejemplo: Q N tiene medida cero en R N, pero Q N no es acotado, de manera que Q N no puede tener contenido cero. TEOREMA.1.6 Todo conjunto de medida cero o de contenido cero en R N tiene interior vacío. OBSERVACIÓN.1.3 El recíproco del Teorema previo no es cierto, tal como lo muestran los siguientes contraejemplos: A [, 1] N Q N tiene interior vacío y no tiene contenido cero aunque sí tiene medida cero, mientras que B [, 1] N \ Q N tiene interior vacío y no tiene medida cero. Conjuntos compactos en R N e integrabilidad en dominios más generales DEFINICIÓN.1.1 Conjuntos compactos en R N Sea K R N. Decimos que K es compacto en R N si K es un conjunto cerrado y acotado en R N. El siguiente teorema establece una equivalencia entre conjuntos de medida cero y conjuntos de 18 Esta versión puede contener errores

29 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].1. DEFINICIÓN Y EXISTENCIA DE LA INTEGRAL MÚLTIPLE contenido cero en el contexto de conjuntos compactos. TEOREMA.1.7 Sea K un conjunto compacto en R N. Entonces, K tiene medida cero si y solo si K tiene contenido cero. A continuación enunciamos un teorema que extiende al Teorema.1. de integrabilidad de funciones continuas sobre rectángulos. TEOREMA.1.8 Sea R un rectángulo en R N, sea f : R R una función acotada sobre R y sea E { x R : f no es continua en x}. Entonces, f es integrable sobre R si y solo si E es un conjunto de medida cero. EJERCICIOS Sea R [, 1] [, 1] y sea f : R R la función definida por { si x, y R \ Q Q fx, y 1 si x, y R Q Q. Es f integrable sobre R? Justifica tu respuesta.. Sea R [ π, π] [ 1, 1] y sea f : R R la función definida por { senxy si x, y R \ {u, w R : u w} fx, y si x, y R {u, w R : u w}. Es f integrable sobre su dominio? Justifica tu respuesta. Para ver las Soluciones de los Ejercicios.1.1 presiona aquí A.1.. Propiedades de la integración múltiple DEFINICIÓN.1.13 Sea D un conjunto en R N. Decimos que D es medible Jordan en R N si D es acotado y su frontera FrD tiene contenido cero. DEFINICIÓN.1.14 Sea D un conjunto medible Jordan en R N, sea R un rectángulo en R N que contiene a D, sea f : D R una función y sea { f x si x D f x si x D. Si f es integrable sobre R, entonces decimos que f es integrable sobre D. En tal caso, definimos la integral de f sobre D por f D R f. 19 Esta versión puede contener errores

30 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda TEOREMA.1.9 Sea D un conjunto medible Jordan en R N, y sean f, g dos funciones integrables sobre D y sea c R. Entonces las funciones f + g, f g, c f, f g y f también son integrables sobre D. Además se cumple que: i αf + βg α f + β g α, β R D ii f g iii D f D D D f f. D g D TEOREMA.1.1 Teorema del valor medio integral generalizado Sea K un conjunto compacto cuyo interior no puede ser descrito como la unión de dos conjuntos abiertos en R N, sea f : K R una función continua y sea g : K R una función no negativa e integrable sobre su dominio. Entonces existe x K tal que K fg f x g. K TEOREMA.1.11 Sean D 1 y D dos conjuntos medibles Jordan en R N tales que D 1 D es de medida cero, y sea f una función integrable sobre D 1 D. Entonces f D 1 D f + D 1 f. D.1.3. La integral de Riemann en R Consideremos en R el rectángulo R [a, b] [c, d]. Consideremos también la partición P 1,m de [a, b] y la partición P,n de [c, d] dadas respectivamente por P 1,m {a x, x 1, x,..., x m b} y P,n {c y, y 1, y,..., y n d}. Pongamos x i x i x i 1 i 1,,..., m y y j y j y j 1 j 1,,..., n. Esta versión puede contener errores

31 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].1. DEFINICIÓN Y EXISTENCIA DE LA INTEGRAL MÚLTIPLE Entonces, se determinan m n rectángulos contenidos en R, los que denotamos por R ij, donde R ij [x i 1, x i ] [y j 1, y j ] i 1,,..., m j 1,,..., n. Figura.1. Partición rectangular P P 1,m P,m del rectángulo R [a, b] [c, d], donde P 1,n {a x, x 1, x,..., x m b} y P,m {c y, y 1, y,..., y n d}. Por lo tanto, obtenemos la partición rectangular P de R, dada por P P 1,m P,n, la cual determina una división de la región R en rectángulos más pequeños, de manera que n m R i1 j1 R ij con intr ij intr lk si ij lk. Ahora, sea f : R R una función continua y positiva, y sea S el sólido limitado superiormente por la superficie correspondiente a la gráfica de f e inferiormente por el rectángulo R en el plano xy. Entonces la partición P antes mencionada divide al sólido S en m n sólidos, los cuales denotamos por S ij i 1,,..., m j 1,,..., n. En particular, el sólido S ij tiene por base al rectángulo R ij en el plano xy, y por techo a la superficie correspondiente a la gráfica de f asociada al rectángulo R ij, siendo sus caras laterales regiones planas perpendiculares al plano xy. 1 Esta versión puede contener errores

32 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura.. El sólido S se divide en m n sólidos, denominados S ij, asociados a los rectángulos R ij, i 1,,..., m; j 1,,..., n. A continuación, para cada i 1,,..., m; j 1,,..., n, consideramos un punto x ij, ȳ ij R ij y por lo tanto x ij [x i 1, x i ], j, y ȳ ij [y j 1, y j ], i, y ponemos T P { x 11, ȳ 11, x 1, ȳ 1,..., x mn, ȳ mn }. Por otro lado, recordemos que P tiene norma dada por el valor P máx{ P 1,m, P,n }, donde P 1,m máx 1 i m { x i } y P,n máx 1 j n { y j }. Luego, es claro que si P es muy pequeña, entonces el paralelepípedo rectangular recto de base R ij y altura f x ij, ȳ ij posee un volumen Λ ij que se aproxima al volumen V ij del sólido S ij. Es decir, Λ ij V ij, o bien V ij f x ij, ȳ ij x i y j i 1,,..., m j 1,,..., n. Figura.3. El volumen del sólido S ij es aproximado por el volumen de un paralelepípedo de base R ij y que posee altura f x ij, ȳ ij. Esta versión puede contener errores

33 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].1. DEFINICIÓN Y EXISTENCIA DE LA INTEGRAL MÚLTIPLE De esta forma, el volumen total V del sólido S es aproximado por la suma de todos los volúmenes V ij de los sólidos S ij, a saber n m V f x ij, ȳ ij x i y j σf, P, T P, j1 i1 donde σf, P, T P es precisamente la suma de Riemann para la función f respecto de la partición rectangular P del rectángulo R, para la elección de puntos T P. Aquí, la medida de los rectángulos R ij está dada por mr ij x i y j. Es claro que mientras menor es la norma de la partición P, mejor será la aproximación del volumen V del sólido S mediante sumas de Riemann. Figura.4. Mientras menor es la norma de la partición P, mejor será la aproximación del volumen V mediante sumas de Riemann. En este caso, observamos una suma inferior de Riemann. Para R, damos una definición del valor de una integral definida integral de Riemann. DEFINICIÓN.1.15 Valor de la integral de una función sobre un rectángulo Sea R [a, b] [c, d] y para n, m N dados, consideremos P 1,m {a x, x 1,..., x m b} una partición de [a, b] y P,n {c y, y,..., y n d} una partición de [c, d], tales que P 1,m Luego, la partición P de R, definida por P Pm, n P 1,m P,n, y P,n. m n verifica que P, pues P máx{ P 1,m, P,n }. Escojamos ahora arbitrariamente m,n puntos x ij, ȳ ij R ij donde R ij [x i 1, x i ] [y j 1, y j ], para 1 i m, 1 j n, y consideremos una función f : R R que sea acotada e integrable sobre R. Entonces, la integral de f sobre R es el número real R f R fx, y da lím m,n m i1 j1 n f x ij, ȳ ij x i y j. 3 Esta versión puede contener errores

34 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda OBSERVACIÓN.1.4 En integrales dobles es usual usar la notación da en vez de la notación dy dx o dx dy, en alusión a que estamos integrando sobre una región que posee área... Evaluación de integrales múltiples de Riemann En general, no parece práctico tratar de obtener el valor de la integral de una función usando la definición. Esto ya sucedía para la integración de funciones de una sola variable, donde fuimos capaces de evaluar integrales de forma sencilla solo cuando probamos el Teorema fundamental del cálculo y la regla de Barrows segundo Teorema fundamental del cálculo, los cuales relacionaban el valor de una integral definida la integral de Riemann, con la antiderivada de la función que estábamos integrando...1. Evaluación de integrales dobles sobre rectángulos A continuación, vamos a enunciar un resultado que establece una forma simple y directa de evaluar integrales de ciertas funciones integrables sobre rectángulos. Este método consiste en expresar la integral como una integral iterada vea la Definición El método se puede extender a dimensiones mayores que como veremos más adelante. TEOREMA..1 Teorema de Fubini, Primera forma Sea R [a, b] [c, d] y sea f : R R una función tal que para cada x [a, b], existe d c fx, y dy. Entonces la función F : [a, b] R definida por x, y F x es integrable sobre [a, b]. Más aún, se verifica que R fx, y da b a d c F x dx fx, y dy b d a c fx, y dy dx. OBSERVACIÓN..1 El Teorema..1 extiende al Teorema en el sentido que ahora no necesitamos hipótesis de continuidad sobre la función f. COROLARIO..1 Sea R [a, b] [c, d] y sea f : R R una función tal que para cada x [a, b] existe d c fx, y dy, y para cada y [c, d] existe b a fx, y dx. Entonces b d d b fx, y da fx, y dy dx fx, y dx dy. R a c c a 4 Esta versión puede contener errores

35 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN COROLARIO.. Sea R [a, b] [c, d] y sea f : R R una función acotada. Si f es continua sobre R, excepto tal vez en un conjunto de medida cero, entonces b d d b fx, y da fx, y dy dx fx, y dx dy. R a c c a EJEMPLO..1 Sea R [, 1] [, 1] y sea f : R R la función definida por x + y si x 1 x, y fx, y 1 si x 1. Calcula R fx, y da. Solución. Notemos que f es acotada en R, pues 1 fx, y x, y R, y que f es continua sobre R, excepto en el conjunto de medida cero { E x, y R : x 1 }. Luego, f es integrable sobre R y obtenemos R fx, y da x + y dy dx x y + y3 3 x dx y1 y x x1 3 x 3. x dx OBSERVACIÓN.. Notemos que si R [a, b] [c, d], entonces: El área de la región rectangular R viene dada por AR b d a c 1 dy dx d cb a mr. 5 Esta versión puede contener errores

36 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Sea f : R R una función continua sobre R. El volumen del sólido S limitado por la superficie z fx, y, con x, y R, y el plano xy, el cual corresponde al volumen limitado superiormente por la superficie z fx, y, con x, y R, sobre el plano xy, y limitado lateralmente por una superficie perpendicular al plano xy, viene dado por VS b d a c fx, y dy dx. En particular, si z h, con h >, entonces el sólido S con base R y altura h tiene volumen VS b d a c h dy dx h AR. EJEMPLO.. Calcula el volumen del sólido limitado por la superficie z x 1 16 y, los planos x 3, y y los planos coordenados. Solución. En primer lugar, notemos que la región R sobre la cual vamos a integrar corresponde al rectángulo R {x, y R : x 3 y } [, 3] [, ]. Consideremos ahora la función f : R R definida por x, y fx, y x 1 16 y. Entonces, f resulta ser positiva y acotada sobre R, pues < fx, y 4 x, y R, y continua sobre R. Luego, z fx, y fx, y en R, así que el volumen del sólido limitado por la superficie z x 1 16 y, los planos x 3, y y los planos coordenados está dado por 3 V 4 19 x y dy dx 4y 19 x y 148 y3 dx x 1 dx 6 8x 7 x3 1 6 x x3 x 6 Esta versión puede contener errores

37 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN... Evaluación de integrales dobles sobre dominios más generales PROPOSICIÓN..1 Sean u, v C[a, b] tales que c ux vx d x [a, b], sea D {x, y R : a x b ux y vx} y sea f : D R es una función acotada, que además es continua sobre D salvo tal vez en un conjunto de medida cero. Entonces f es integrable sobre D y se verifica que D fx, y da b vx a ux fx, y dy dx. EJEMPLO..3 Sea D {x, y R : x x y x} y sea f una función integrable sobre la región D. Cambia el orden de integración para la siguiente integral x x fx, y dy dx. Solución. 1 o Trazamos la gráfica de la región D en el plano xy, señalando claramente las curvas que la limitan. Figura.5. Gráfica de la región D {x, y R : x x y x}. o Ahora intercambiamos los ejes y volvemos a trazar la gráfica de la región D, dividiéndola, de ser necesario, en apropiadas subregiones. El eje horizontal será el eje y, y x será la variable dependiente. Señalamos claramente las curvas que limitan las subregiones. 7 Esta versión puede contener errores

38 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura.6. Gráfica de la región D, donde se han intercambiado los ejes x e y. 3 o Desde la figura previa, podemos poner D 1 {x, y R : y y } x y y D {x, y R : y 4 y x }, entonces D D 1 D, donde D 1 y D son regiones acotadas tales que md 1 D. 4 o Finalmente, obtenemos x x fx, y dy dx y y fx, y dx dy + 4 y fx, y dx dy. EJEMPLO..4 Sea D {x, y R : x 4 4x x y x} y sea f una función integrable sobre la región D. Cambia el orden de integración y reescribe la integral 4 x 4x x fx, y dy dx. Solución. 1 o Trazamos la gráfica de la región D en el plano xy, señalando claramente las curvas que la limitan. Figura.7. Gráfica de la región D {x, y R : x 4 4x x y x}. 8 Esta versión puede contener errores

39 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN o Ahora intercambiamos los ejes y volvemos a trazar la gráfica de la región D, dividiéndola, de ser necesario, en apropiadas subregiones. El eje horizontal será el eje y, y x será la variable dependiente. Señalamos claramente las curvas que limitan las subregiones. Figura.8. Gráfica de la región D, donde se han intercambiado los ejes x e y. 3 o Desde la figura previa, podemos identificar las regiones D 1 {x, y R : y y 4 x } 4 y, { D x, y R : y + } 4 y x 4 y D 3 } {x, y R : y 4 y 4 x 4, entonces D D 1 D D 3, donde D 1, D y D 3 son regiones acotadas y tales que para cada i, j 1,, 3, i j. 4 o Finalmente, obtenemos md i D j, 4 x 4x x fx, y dy dx 4 y fx, y dx dy y y fx, y dx dy y 4 fx, y dx dy. EJEMPLO..5 Calcula, si es posible, el valor de ln x 1 x e y dy dx. 9 Esta versión puede contener errores

40 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Solución. La función fx, y x e y es continua sobre R, y en particular lo es sobre la región acotada D {x, y R : 1 x y ln x}. Luego, podemos integrar. Teniendo en cuenta los límites de integración y la estructura de la función f, parece razonable cambiar el orden de integración pues no es directo integrar 1 + e y dy. Entonces, trazamos la gráfica de la región D sobre el plano xy. Figura.9. Gráfica de la región D { x, y R : 1 x y ln x }. Ahora intercambiamos los ejes y volvemos a trazar la gráfica de la región D. Figura.1. Gráfico de la región D, donde se han intercambiado los ejes x e y. Notemos que la región D puede describirse de la siguiente forma, D { x, y R : y ln e y x }. 3 Esta versión puede contener errores

41 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN Luego, ln x 1 x e y dy dx ln x 1 ln ln ln x e y dy dx x e y dx dy e y x 1 x x + e y e y 1 ey + e y dy ln 5 e y 1 + e y dy + 1 ln xe y dy por Fubini e y 1 + e y dy v dv u du donde v 1 + e y y u e y. Para el cálculo de la segunda integral, introducimos el cambio de variable { u tan θ du sec θ dθ. Luego, 1 + u 1 + tan θ sec θ y obtenemos, 1 + u du sec 3 θ dθ. Esta última integral se puede resolver integrando por partes, si consideramos { ū sec θ d v sec θ dθ dū sec θ tan θ dθ v tan θ. Siguiendo con algunos cálculos directos y teniendo en cuenta que tan θ + 1 sec θ, obtenemos sec 3 θ dθ tan θ sec θ tan θ sec θ sec θ tan θ dθ sec 3 θ dθ + sec θ dθ, de donde se sigue que sec 3 θ dθ tan θ sec θ + ln sec θ + tan θ + c. 31 Esta versión puede contener errores

42 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Ahora, para retornar a las variables originales, consideramos el triángulo rectángulo asociado a la relación u tan θ, y procedemos a calcular todas aquellas razones trigonométricas involucradas en la expresión previa. Obtenemos, sec 3 θ dθ 1 u 1 + u + ln 1 + u + u + c. Por lo tanto, ln x x e y dy dx 1 6 v v5 v u 1 + u + ln 1 + u u + u ln 5 + ue + ln + 1. EJEMPLO..6 Calcula, si es posible, el valor de 1 y 1 x + y dx dy. Solución. La función fx, y x + y es continua sobre R, y en particular lo es sobre la región acotada D {x, y R : 1 y 1 x y }. Figura.11. Gráfica de la región D {x, y R : 1 y 1 x y }. Luego, podemos integrar, 1 y 1 3 Esta versión puede contener errores x + y dx dy 1 1 y x + y dx dy 1 x 3 xy yx dy x 1 y y3 dy y y4 y y 1

43 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN OBSERVACIÓN..3 Sean u, v C[a, b] tales que c ux vx d x [a, b]. Sea R [a, b] [c, d] y sea D {x, y R : a x b ux y vx}. Entonces: El área de la región D viene dada por AD b vx a ux 1 dy dx. El volumen del sólido S limitado por la superficie z fx, y, con x, y D, y el plano xy, el cual corresponde al volumen limitado superiormente por la superficie z fx, y, con x, y D, sobre el plano xy, y limitado lateralmente por una superficie perpendicular al plano xy, viene dado por VS b vx a ux fx, y dy dx. En particular, si z h, con h >, entonces el sólido S con base D y altura h tiene volumen VS b vx a ux h dy dx h AD. EJEMPLO..7 Mediante el uso de una integral doble, calcula el volumen de un cilindro circular recto de radio r y altura h. Solución. En primer lugar, definimos la región D sobre la cual vamos a integrar. Para ello, vamos a considerar un cilindro circular recto tal que su base circular esté centrada en el origen, y contenida en el plano xy. Entonces, el círculo centrado en el origen y radio r será el dominio D de integración de la función constante fx, y h. Para escribir correctamente los límites de integración, notemos que D {x, y R : x + y r } {x, y R : r x r r x y } r x. Figura.1. Gráfica de la región D { x, y R : x + y r }. 33 Esta versión puede contener errores

44 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Luego, el volumen V del cilindro circular recto de radio r y altura h está dado por V r r x r r x h dy dx h h r r x r r r r x dx h dy dx x h r x + r x arc sen xr r h r arc sen 1 πr h. x r EJEMPLO..8 Sea D {x, y R : x 1 y } y sea f : D R la función definida por 1 + x si x, y D 1 {x, y D : x > y} fx, y 1 y si x, y D {x, y D : x y}. Halla el volumen del sólido limitado por la superficie z fx, y, con x, y D, y el plano xy. Solución. Notemos que D D 1 D [, 1] [, ] es un conjunto acotado y que podemos reescribir las regiones D 1 y D como: { D 1 x, y R : x 1 y < x } y D {x, y R : x 1 x y }. Figura.13. Gráfica de la región D {x, y R : x 1 y } sub dividida en las regiones D 1 { x, y R : x 1 y < x } y D { x, y R : x 1 x y }. Notemos también que D 1 D tiene medida cero pues se trata de un segmento de recta de longitud finita. Luego, podemos integrar separadamente sobre D 1 y sobre D, para finalmente 34 Esta versión puede contener errores

45 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN sumar estas integrales y obtener la integral sobre D. Como fx, y 1 + x > en D 1, entonces el volumen bajo la superficie z fx, y en D 1, sobre el plano xy, está dado por V 1 1 x fx, y dy dx x 5 1. x 1 + x 1 + x dy dx y x y x 1 + x dx x1 4 + x3 6 Por otro lado, como fx, y en D, el volumen bajo la superficie z fx, y en D, sobre el plano xy, está dado por V 1 Luego, el volumen del sólido es x fx, y dy dx x x dx 1 + y dy dx y + y y dx y x x x 4 dx 8 4x x 4 x3 x V V 1 + V x EJERCICIOS Sea D {x, y R : 1 x e < y < ln x} y sea f una función integrable sobre D. Cambia el orden de integración y obtén una integral equivalente a e ln x 1 fx, y dy dx. 35 Esta versión puede contener errores

46 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda. Reescribe la integral doble D fx, y da, utilizando límites de integración adecuados sobre las regiones D dadas. a D {x, y R : x + y 1} b D {x, y R : 1 x + y } {x, y R : y x } c D es el triángulo de vértices,,, 1,,. 3. Encuentra el área de la región encerrada por las curvas y x y y 4x x. 4. Expresa el volumen del sólido encerrado por los paraboloides z x +y y z 1 x y mediante una integral doble con adecuados límites de integración. 5. Evalúa, si es posible, el valor de 4 x senπy 3 dy dx. Para ver las Soluciones de los Ejercicios..1 presiona aquí A..3. Evaluación de integrales múltiples de Riemann TEOREMA.. Teorema de Fubini, segunda forma Sea R [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a N, b N ], sea i {1,,..., N} fijo, y sea f : R R una función integrable sobre R tal que para cada z [a i, b i ] existe R i fx 1, x,..., x i 1, z, x i +1,..., x N dx 1 dx... dx i 1 dx i dx N, donde R i [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a i 1, b i 1] [a i +1, b i +1]... [a N, b N ]. Entonces la función F : R i R definida por F z fx 1, x,..., x i 1, z, x i +1,..., x N dx 1 dx... dx i 1 dx i dx N R es integrable sobre [a i, b i ]. Más aún, se verifica que bi a i F z dz bi a i fx 1, x,..., x i 1, z, x i +1,..., x N dx 1 dx... dx i 1dx i dx N dz. R El Teorema..3 de Fubini, segunda forma, no solo nos da un criterio para evaluar integrales múltiples, sino que también nos habilita para realizar cambios arbitrarios en el de orden de integración tal como lo establece el siguiente corolario. 36 Esta versión puede contener errores

47 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN COROLARIO..3 Sea R [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a N, b N ] y sea f : R R una función integrable sobre R tal que para cada i {1,,..., N} y para cada z [a i, b i ] existe R i fx 1, x,..., x i 1, z, x i +1,..., x N dx 1 dx... dx i 1 dx i dx N, donde R i [a 1, b 1 ] [a, b ]... [a i 1, b i 1] [a i +1, b i +1]... [a N, b N ]. Entonces fx 1, x,..., x N dx 1 dx... dx N fx 1, x,..., x N dα 1 dα... dα N, R donde la N-upla α 1, α,..., α N es una permutación arbitraria en el orden de aparición de las componentes de la N-upla x 1, x,..., x N. R EJEMPLO..9 Calcula la integral múltiple x + y ze w dx dy dz dw. Solución. Claramente, la función f definida por fx, y, z, w x + y ze w es una función continua en R 4, y por lo tanto también lo es sobre el rectángulo R [, 1] [, 1] [ 1, 1] [ 1, 1], que es cerrado y acotado en R 4. Luego, f es integrable en R, y obtenemos x + y ze w dx dy dz dw x + y ze w dx dy dz dw x3 + xy ze w x1 dy dz dw x y ze w dy dz dw 1 3 y + 3 y3 ze w y dz dw y ze w dz dw z e w z1 dw e w dw 1 e 1. 3 z El Teorema a continuación nos permitirá reducir nuestro trabajo para calcular el valor de una integral cuando la función a integrar puede reescribirse en variables separables en ciertas 37 Esta versión puede contener errores

48 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda subregiones rectangulares de la región rectangular original. TEOREMA..3 Integración sobre un producto de rectángulos Sea R 1 un rectángulo en R N 1, sea R un rectángulo en R N y sea f : R 1 R R una función integrable sobre R 1 R. Si E R N 1 es un conjunto de medida cero y si para todo x R 1 \ E existe R fx, y dy, entonces la función F 1 : R 1 R definida por x F 1 x f x, y dy 1 dy... dy N R es integrable sobre R 1. Más aún, se verifica que F 1 f x, y dy 1 dy... dy N dx 1 dx... dx N1 f. R 1 R R 1 R R 1 COROLARIO..4 Sean N 1, N N tales que N 1 + N N, sean R 1 y R rectángulos en R N 1 y R N respectivamente, y sean g : R 1 R y h : R R dos funciones integrables sobre sus respectivos dominios. Entonces, la función f : R 1 R R definida por x f x, y g xh y x, y R 1 R es integrable sobre R 1 R y además se cumple que f g x dx 1 dx... dx N1 h y dy 1 dy... dy N. R 1 R R 1 R EJEMPLO..1 Calcula la siguiente integral múltiple usando el Corolario..4: x + y ze w dx dy dz dw. Solución. Procedemos de la siguiente forma Esta versión puede contener errores x + y ze w dx dy dz dw x + y dx dy x 3 x1 3 + xy y dy 1 3 y + y3 e e 1. 3 dy x 1 1 z dz z e 1 z1 z e w dw w1 e w w

49 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN..4. Evaluación de integrales múltiples de Riemann sobre dominios más generales El siguiente resultado extiende al caso N 3 la Proposición..1 que fue dada para el caso N. PROPOSICIÓN.. Sean u, v : [a 1, b 1 ] R dos funciones continuas sobre [a 1, b 1 ] tales que a ux vx b x [a 1, b 1 ]. Sea D {x, y R : a 1 x b 1 continuas sobre D tales que ux y vx} y sean φ, ψ : D R dos funciones a 3 φx, y ψx, y b 3 x, y D. Sea D {x, y, z R 3 : a 1 x b ux y vx φx, y z ψx, y} y sea f : D R una función acotada, que además es continua sobre D salvo tal vez en un conjunto de medida cero. Entonces f es integrable sobre D y verifica que D fx, y, z dv b1 vx ψx,y a 1 ux φx,y fx, y, z dz dy dx. OBSERVACIÓN..4 En integrales triples es usual usar la notación dv en vez de la notación dz dy dx o dx dy dz o..., en alusión a que estamos integrando sobre una región que posee volumen. EJEMPLO..11 Sea D la región acotada por los cilindros parabólicos z y y z x, y los planos x 1, y e y x. Calcula x + 1 dx dy dz. D Solución. 1 o Partimos buscando los límites de integración de una variable que dependa de las otras. De acuerdo a la información disponible, nos conviene partir identificando los límites de la variable z. Como y x para todo x, y R, si ponemos φx, y y y ψx, y x,.1 obtenemos que la variable z queda limitada de la siguiente forma φx, y y z x ψx, y. o Ahora buscamos los límites de integración de las restantes variables, en este caso x e y, los cuales deducimos a partir de la proyección de la región D sobre el plano xy o equivalentemente, el plano z. Notemos que las proyecciones de los planos x 1, y e y x 39 Esta versión puede contener errores

50 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda sobre el plano xy son, respectivamente, las rectas x 1, y e y x. Notemos también que las rectas x 1 e y x se intersecan en el punto 1, 1, las rectas x 1 e y se intersecan en el punto 1,, y las rectas y e y x se intersecan en el punto,. Así que ahora podemos determinar los límites asociados a x e y sobre esta región. Figura.14. Gráfico de las rectas x 1, y e y x en el plano xy. Se observa que y x y x 1. Considerando ux y vx x, obtenemos que la variable y queda limitada de la siguiente forma ux y x vx,. mientras que la variable x queda limitada de la siguiente forma x o Desde.1,. y.3 podemos identificar la región D sobre la que vamos a integrar, como el conjunto de puntos x, y, z R 3 tales que y z x y x x 1. 4 o Finalmente, obtenemos 1 x x x + 1 dx dy dz x + 1 dz dy dx D y 1 x zx zx + 1 dy dx z y 4 Esta versión puede contener errores 1 x x 3 + x + y x + y dy dx

51 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] x + 1 dx dy dz R EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN x 3 y + x y + y3 x x 4 + x 3 + x4 3 + x3 3 x x4 x1 4 x 3 + y3 yx 3 dx dx y 3 5. Figura.15. Gráfico de la región D acotada por los cilindros parabólicos z y y z x, y los planos x 1, y e y x. EJEMPLO..1 Sea D la región acotada por los paraboloides circulares z 3 x y z x + y 5, y la región donde x e y. Calcula y dx dy dz. D y Solución. 1 o Partimos buscando los límites de integración de una variable que dependa de las otras. De acuerdo a la información disponible, nos conviene partir identificando los límites de la variable z. Sin embargo, a diferencia del ejemplo anterior, no parece tan directo determinar los límites superior e inferior de z. Una forma de proceder en estos casos consiste en estudiar un corte transversal de la región D en R 3 que contenga al eje z. Por ejemplo, podemos considerar el corte asociado al plano y o equivalentemente, al plano xz. 41 Esta versión puede contener errores

52 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura.16. Gráfico del corte transversal de la región D cuando y. Es decir, en el plano xz consideramos la región entre las gráficas de las funciones z 3 x y z x 5. Este gráfico nos permitirá establecer adecuadamente los límites de integración de la variable z. El gráfico previo nos muestra qué función acota a z por abajo y qué función acota a z por arriba. Considerando φx, y x + y 5 y ψx, y 3 x y, obtenemos que la variable z queda limitada de la siguiente forma φx, y x + y 5 z 3 x y ψx, y..4 o Ahora buscamos los límites de integración de las restantes variables, en este caso x e y, los cuales deducimos a partir de la proyección de la región D sobre el plano xy o equivalentemente, el plano z. La proyección deseada corresponde a la sombra directa sobre el plano xy de aquel corte transversal de la región D, que sea paralelo al plano xy, y que posea mayor área. Observemos que este corte debe producirse justo donde se intersecan los paraboloides circulares z x + y 5 y z 3 x y. Como y x + y 5 3 x y x + y 4 x + y 5 3 x + y x + y 4, 4 Esta versión puede contener errores

53 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN al proyectar sobre el plano xy tal corte transversal, y considerando solo la zona donde x e y, obtenemos el cuarto del círculo x + y 4 que está ubicado en el primer cuadrante del plano xy, pudiendo ahora determinar los límites asociados a x e y sobre esta región. Figura.17. Gráfico de la proyección de la región D sobre el plano xy. Es decir, en el plano xy consideramos la región entre las gráficas de las funciones y y y 4 x, obteniéndose los límites para y, y finalmente para x, aquí x. Considerando ux y vx 4 x, obtenemos que la variable y queda limitada de la siguiente forma ux y 4 x vx,.5 mientras que la variable x queda limitada de la siguiente forma x..6 3 o Desde.4,.5 y.6 podemos identificar la región D sobre la que vamos a integrar, como el conjunto de puntos x, y, z R 3 tales que x + y 5 z 3 x y y 4 x x. 4 o Finalmente, obtenemos D y dx dy dz 4 x 3 x y x +y 5 y dz dy dx 43 Esta versión puede contener errores

54 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda D y dx dy dz 4 x 4 x yz z3 x y zx +y 5 dy dx 8y x y y 3 dy dx 4y x y y4 y 4 x dx y 8 4x + x4 dx 8x 4 x3 3 + x5 x x Figura.18. Gráfico de la región D acotada por los paraboloides circulares z 3 x y y z x + y 5, y las regiones donde x e y. EJEMPLO..13 Sea D la región acotada por el cono circular recto z x +y, el cilindro circular recto x + z 1, y la región donde z. Calcula xy dx dy dz. D 44 Esta versión puede contener errores

55 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN Solución. 1 o Partimos buscando los límites de integración de una variable que dependa de las otras. De acuerdo a la información disponible, podemos partir identificando los límites de la variable z. Nuevamente, como en el ejemplo anterior, no parece tan directo determinar los límites superior e inferior de z, así que estudiamos un corte transversal de la región D en R 3 que contenga al eje z. Por ejemplo, podemos considerar el corte asociado al plano y o equivalentemente, al plano xz. Figura.19. Gráfico del corte transversal de la región D cuando y. Es decir, en el plano xz consideramos la región entre las gráficas de las funciones z x x y z 1 x. Este gráfico nos permitirá establecer adecuadamente los límites de integración de la variable z. El gráfico previo nos muestra qué función acota a z por abajo y qué función acota a z por arriba. Considerando φx, y x + y y ψx, y 1 x, obtenemos que la variable z queda limitada de la siguiente forma φx, y x + y z 1 x ψx, y..7 o Ahora buscamos los límites de integración de las restantes variables, en este caso x e y, los cuales deducimos a partir de la proyección de la región D sobre el plano xy o equivalentemente, el plano z. La proyección deseada corresponde a la sombra directa sobre el plano xy de aquel corte transversal de la región D, que sea paralelo al plano xy, y que posea mayor área. Observemos que este corte debe producirse justo donde se intersecan el cono z x + y y el cilindro circular recto x + z Esta versión puede contener errores

56 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Como x + y 1 x x + y 1 y x + y 1 x x + y 1, al proyectar sobre el plano xy tal corte transversal, obtenemos la región elíptica x + y 1 del plano xy, pudiendo ahora determinar los límites de integración asociados a x e y sobre esta región. Figura.. Gráfico de la proyección de la región D sobre el plano xy. Es decir, en el plano xy estamos considerando la región entre las gráficas de las funciones y 1 x y y 1 x, de donde se deducen los límites para y, y finalmente para x, aquí 1 x 1. Considerando ux 1 x y vx 1 x, obtenemos que la variable y queda limitada de la siguiente forma ux 1 x y 1 x vx,.8 mientras que la variable x queda limitada de la siguiente forma 1 x o Desde.7,.8 y.9 podemos identificar la región D sobre la que vamos a integrar, como el conjunto de puntos x, y, z R 3 tales que x + y z 1 x 1 x y 1 x 1 x Esta versión puede contener errores

57 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN 4 o Finalmente, obtenemos D xy dx dy dz x x 1 x 1 x x +y xy dz dy dx 1 x z 1 x xyz 1 x 1 x xy 1 x 1 dx. z x +y dy dx 1 x x + y dy dx y 1 x 1 y 1 x 3 x + y 3 y 1 x dx Figura.1. Gráfico de la región D acotada por el cono circular recto z x + y, el cilindro circular recto x + z 1, y la región donde z. EJEMPLO..14 Sea D la región del primer octante acotada por el plano 3x + y + z. Calcula x dx dy dz. D Solución. 1 o Partimos buscando los límites de integración de una variable que dependa de las otras. De acuerdo a la información disponible, podemos partir identificando los límites de la variable z. Lo haremos estudiando un corte transversal de la región D en R 3 que contenga al eje z. Por ejemplo, podemos considerar el corte asociado al plano y o equivalentemente, al plano xz. 47 Esta versión puede contener errores

58 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura.. Gráfico del corte transversal de la región D cuando y. Es decir, en el plano xz consideramos la región del primer cuadrante acotada por la recta z 3x. Este gráfico nos permitirá establecer adecuadamente los límites de integración de la variable z. El gráfico previo nos muestra qué función acota a z por abajo y qué función acota a z por arriba. Es claro que al considerar φx, y y ψx, y 3x + y, obtenemos que la variable z queda limitada de la siguiente forma φx, y z 3x + y ψx, y..1 o Ahora buscamos los límites de integración de las restantes variables, en este caso x e y, los cuales deducimos a partir de la proyección de la región D sobre el plano xy o equivalentemente, el plano z. La proyección deseada corresponde a la sombra directa sobre el plano xy de aquel corte transversal de la región D, que sea paralelo al plano xy, y que posea mayor área. Observemos que este corte debe producirse justo cuando z, obteniéndose una región triangular ubicada en el primer cuadrante del plano xy acotada por el eje x, el eje y y la recta 3x + y, que es el resultado de intersecar los planos z y z 3x + y. Ahora podemos determinar los límites asociados a x e y sobre esta región. 48 Esta versión puede contener errores

59 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].. EVALUACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES DE RIEMANN Figura.3. Gráfico de la proyección de la región D sobre el plano xy. Es decir, en el plano xy consideramos la región entre las gráficas de las funciones y y y 3x, obteniéndose los límites para y, y finalmente para x, aquí x 3. Considerando ux y vx 3x, obtenemos que la variable y queda limitada de la siguiente forma ux y 3x vx, mientras que la variable x queda limitada de la siguiente forma x 3. 3 o Desde.7,.8 y.9 podemos identificar la región D sobre la que vamos a integrar, como el conjunto de puntos x, y, z R 3 tales que z 3x + y y 3x x 3. 4 o Luego, D x dx dy dz 3 3x 3x y 3 3x xz z 3x y z x dz dy dx dy dx 49 Esta versión puede contener errores

60 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda D xy dx dy dz x x 3x y dy dx xy 3x y x y y 3x dx y x 6x + 9 x3 dx x x x4 x 3 7. x Figura.4. Gráfico de la región D ubicada en primer octante y acotada por el plano 3x + y + z. OBSERVACIÓN..5 Sean u, v C[a 1, b 1 ] tales que a ux vx b x [a 1, b 1 ], sea D {x, y R : a 1 x b 1 ux y vx}, sean φ, ψ CD tales que a 3 φx, y ψx, y b 3 x, y D, y sea D {x, y, z R 3 : a 1 x b volumen de D viene dado por ux y vx φx, y z ψx, y}. Entonces, el V D b vx ψx,y a ux φx,y 1 dz dy dx. 5 Esta versión puede contener errores

61 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES EJERCICIOS.. 1. Sea D la región acotada por el plano xy, el cono 9x + z y y el plano y 9, con z. Calcula la integral. Calcula la integral triple donde D D D z dx dy dz. z dx dy dz, } {x, y, z R 3 : x y z x a + y b + z c Expresa el volumen del sólido acotado por el paraboloide z 1 x y y el plano z 1 y como una integral triple, y calcula su volumen. 4. Sea D la región acotada por el plano z x, el plano x 1, el plano xz y la superficie de ecuación y xz. Calcula la integral D xy 3 z dv. 5. Sea f una función continua y acotada en R 3. Para cada una de las siguientes integrales I, encuentra todas las posibilidades para representar I mediante cambios en el orden de integración. a I b I 1 x y 1 1 x 1 1 x fx, y, z dz dy dz, 1 x +y fx, y, z dz dy dx. Para ver las Soluciones de los Ejercicios.. presiona aquí A.3. Cambio de variable en integrales múltiples.3.1. Difeomorfismos Aquí consideramos aplicaciones de la forma T : D R N R N cuya imagen es una región D contenida en R N. Es decir, T D D. Sobre esta clase de aplicaciones, algunas propiedades adicionales serán consideradas posteriormente. 51 Esta versión puede contener errores

62 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO.3.1 Sea D R el rectángulo definido por D {r, θ R : r 1 θ π}, y sea T : D R la aplicación definida por r θ T r θ r cos θ r sen θ x y. Encuentra D T D. Solución. En la búsqueda de la región D, estudiamos los bordes del rectángulo D, interpretando cómo se transforma cada uno de ellos mediante T. Lado I: θ r 1 r creciendo T r r x y. Por lo tanto, el Lado I se transforma en el segmento de recta ubicado en el eje x en la recta y con x 1, x creciendo. Lado II: θ π θ creciendo r 1 T 1 θ cos θ sen θ x y. Por lo tanto, el Lado II se transforma en la circunferencia x + y 1 recorrida en sentido antihorario. Lado III: θ π r 1 r decreciendo T r π r x y. Por lo tanto, el Lado III se transforma en el segmento de recta ubicado en el eje x en la recta y con x 1, x decreciendo. Lado IV: θ π θ decreciendo r T x θ y Por lo tanto, el Lado IV se transforma en el origen, es decir en el punto.. En conclusión, se observa que D T D {x, y : x + y 1}. 5 Esta versión puede contener errores

63 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES Figura.5. La aplicación T r, θ r cos θ, r sen θ x, y transforma el rectángulo D {r, θ R : r 1 θ π} en el círculo D {x, y R : x + y 1}. OBSERVACIÓN.3.1 Observemos que la transformación T del ejemplo previo no conserva el área. Es decir, AD AD. DEFINICIÓN.3.1 Una función T : D R N R N es inyectiva en G si u, v D u v T u T v o, equivalentemente u, v D T u T v u v, donde u u 1, u,..., u N, v v 1, v,..., v N. EJEMPLO.3. Muestra que la aplicación T : [, 1] [, π] R definida por r T r r cos θ x θ θ r sen θ y no es inyectiva, pero sí lo es su restricción a ], 1] ], π]. 53 Esta versión puede contener errores

64 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Solución. Ya vimos que r r π r [, 1]. Por lo tanto, T no es inyectiva. Ahora, veamos qué sucede en ], 1] ], π]. r 1 T T r r 1 cos θ 1 r cos θ θ 1 θ r 1 sen θ 1 r sen θ { r 1 cos θ 1 r cos θ r 1 sen θ 1 r sen θ r1cos θ 1 + sen θ 1 rcos θ + sen θ r1 r r 1 r pues r, 1] θ 1 θ pues F θ : sen θ, cos θ es inyectiva en, π] r 1 θ 1 representa un único punto de la circunferencia unitaria. r θ. Por lo tanto, T es inyectiva. DEFINICIÓN.3. Sea U un conjunto abierto en R N y sea T : U R N una aplicación de clase C 1 definida por T u x. i Llamamos matriz jacobiana de la aplicación T, a la matriz D T u dada por DT u x 1 x 1 x 1... u 1 u u N x x x... u 1 u u N x N x N x N... u 1 u u N ii Llamamos jacobiano de la aplicación T en u, al valor J T u, que corresponde al determinante de la matriz D T u, esto es: J T u det D T u.. 54 Esta versión puede contener errores

65 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES NOTACIÓN.3.1 Las notaciones más usadas para referirse al jacobiano de una aplicación T tal que T u x, cuando éste existe, son J T u x 1, x,..., x N u 1, u,..., u N J x1, x,..., x N u 1, u,..., u N Por otro lado, cuando no resulta confuso, es usual escribir solo J T.. DEFINICIÓN.3.3 Sean U y V dos conjuntos abiertos en R N. Una aplicación T : U V es un difeomorfismo de clase C 1 si T es biyectiva y tanto T como T 1 son aplicaciones de clase C 1. TEOREMA.3.1 Sea U un conjunto abierto en R N y sea T : U R N una aplicación de clase C 1. Entonces, T : U T U es un difeomorfismo de clase C 1 si y solo si se cumplen las siguientes condiciones: i T es inyectiva ii J T u u U. EJEMPLO.3.3 Sea T : R R la aplicación definida por u T u u v v v u + v Prueba que T es un difeomorfismo de clase C 1 de R en R. Solución. x y. Notemos que pu, v u v y qu, v u + v son polinomios de primer grado en R, luego T C 1 R. Por otro lado, T u 1 v 1 T u v { u 1 v 1 u v u 1 + v 1 u + v u 1 v 1 u v u 1 + v 1 u + v u 1 u v 1 v u 1 u v v u 1 v 1 u v. Por lo tanto, T es inyectiva. 55 Esta versión puede contener errores

66 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Notemos también que dado x, y R, el sistema { u v x u + v y siempre tiene solución u, v R, pues el determinante asociado al sistema es distinto de, lo cual indica que T es sobreyectiva. Por lo tanto, T R R. Finalmente, obtenemos J T x u y u x v y v u v R. En consecuencia, desde el Teorema.3.1 concluimos que T es un difeomorfismo de clase C 1 de R en R. EJEMPLO.3.4 Sea T : R R la aplicación definida por u e T u cos v v e u sen v x y. Prueba que T no es un difeomorfismo de clase C 1 de R en R. Solución. Notemos que T u v + kπ T u v k Z. Por lo tanto, T no es inyectiva. En consecuencia, desde el Teorema.3.1 concluimos que T no es un difeomorfismo de C 1 de R en R..3.. El teorema del cambio de variable Comenzamos esta subsección recordando una versión del Teorema del cambio de variable para integrales de funciones de una variable: Sea f : [a, b] R una función integrable sobre [a, b], y sea g : [c, d] [a, b] una función estrictamente creciente, que es continua en [c, d] y derivable en c, d, con derivada continua en particular se tiene que g es biyectiva y que g >. Entonces donde gc a y gd b. b a fx dx d c fgug u du, 56 Esta versión puede contener errores

67 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES OBSERVACIÓN.3. El diagrama a continuación representa la composición f g, con las hipótesis señaladas previamente: [a, b] g [c, d] f En particular, notemos que g transforma [c, d] en [a, b]. f g Apuntando a la obtención de una fórmula de cambio de variable para integrales múltiples, enunciamos algunos resultados técnico recopilados en el siguiente lemma. LEMA.3.1 Sean U y V dos conjuntos abiertos en R N y sea T : U V un difeomorfismo. i U U es abierto si y solo si el conjunto T U V es abierto. ii K U es compacto si y solo si el conjunto T K V es compacto. iii Sea K un conjunto compacto contenido en U. Entonces, K es medible si y solo si el conjunto T K es medible. iv E U tiene medida cero si y solo si el conjunto T E V tiene medida cero. R OBSERVACIÓN.3.3 Sean U y V dos conjuntos abiertos de R N y sea T : U V un difeomorfismo. El Lema.3.1 anterior indica que si K U es un conjunto compacto medible en R N, entonces se verifica que Fr T K T FrK. Este hecho es de mucha utilidad. Por ejemplo, si una región abierta y acotada en R, está limitada por ciertas curvas suaves γ 1, γ,..., γ n, entonces las imágenes T γ 1, T γ,..., T γ n conformarán la frontera de la región T K. Aquí y en el resto de este apuntes, FrA denota la frontera topológica de un conjunto A R N. TEOREMA.3. Teorema del cambio de variable Sean U y V dos conjuntos abiertos de R N, sea T : U V un difeomorfismo de clase C 1, sea D un conjunto abierto contenido en V o un conjunto compacto y medible Jordan contenido en V, y pongamos D T 1 D o equivalentemente T D D. Si f : D R es una función integrable sobre D, entonces existe D f T u J T u du 1 du... du N y se verifica que f x dx 1 dx... dx N f T u J T u du 1 du... du N, T D D donde T u x, con u u 1, u,..., u N y x x 1, x,..., x N. 57 Esta versión puede contener errores

68 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO.3.5 Usa el cambio de variable x u u + v 4 y u + v, para calcular D x dx dy donde D es la región limitada por las curvas i x y y ii x y iii x y y. Adicionalmente, grafica la transformación de la región D originada por el cambio de variable. Solución. 1 Un primer asunto de interés es determinar el difeomorfismo T que usaremos aquí con la finalidad de establecer el cambio de variable en cuestión. De acuerdo a la información que tenemos, debemos considerar la aplicación T : R R definida por u T u u u+v x 4. v v u+v y 1 Claramente T es de clase C 1. En efecto, cada componente de la imagen es un polinomio, los cuales son funciones de clase C 1. Claramente T es inyectiva. En efecto, T u 1 v 1 T u v u 1 u 1+v 1 4 u 1 +v 1 u 1 v 1 u v. u u +v 4 u +v Calculemos ahora el jacobiano de la aplicación T en u, v R. Tenemos x x J T u, v u v 1 u + v u + v y y u, v R. u v Veamos ahora si T es sobreyectiva. Sea x, y R dado. Si ponemos u x + y y v x y + y, obtenemos x u u + v 4 e y u + v. 58 Esta versión puede contener errores

69 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES Por lo tanto, se verifica que x y R u v R tal que T u v x y. De acuerdo a los puntos anteriores, tenemos que T es un difeomorfismo de R en R. Ahora vamos a determinar con precisión la región D en términos de las variables u y v con la finalidad de aplicar el Teorema.3. del cambio de variable de forma apropiada. De paso, aprovechamos esta instancia para trazar la gráfica solicitada. Con el fin de buscar puntos de referencia para el trazado de la región D, comenzamos intersecando las ecuaciones originales. Tenemos, } i x y y ii x y Por lo tanto, 1, 1 satisface i y ii. } i x y y iii x y y Por lo tanto, 3 4, 1 satisface i y iii. } ii x y iii x y y x y. Por lo tanto,, satisface ii y iii. y x 1 y 1. 4y x 3 4 y 1. Ahora transformamos las ecuaciones originales, que están escritas en términos de las variables x e y, a ecuaciones escritas en términos de las variables u y v, con la finalidad de determinar la región D. Tenemos, u + v u + v u + v i u u u v u + v. 4 4 u + v u + v ii u u v. 4 4 u + v u + v u + v iii u u u + v v u. 4 4 La gráfica a continuación representa a la aplicación T de D en D. 59 Esta versión puede contener errores

70 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura.6. Gráfica de la aplicación T u, v u u+v 4, u+v x, y sobre la región D T 1 D, donde D es la región limitada por las curvas x y y, x y y x y y. De esta forma, la región D queda limitada de la siguiente forma: v u y u 1. 3 o Ahora estamos en condiciones de evaluar la integral. Ponemos D T 1 D y obtenemos D x dx dy 1 D 1 u 1 u + v u 1 du dv 4 u + v u dv du 4 u + v3 v u uv du u u 1 u 3 u v u3 1 u u4 48 du 1 u1 + u3 u EJEMPLO.3.6 Sea D {u, v R : u 1 v 1} y sea T : R R la aplicación definida por u v T u v u + v v u a Prueba que T es un difeomorfismo de clase C 1 de intd en T intd. b Mediante un análisis adecuado, realiza un bosquejo de la aplicación T de D en D T D. c Es f : D R definida por fx, y 1 y x 1 integrable sobre D? Justifica tu respuesta. d Calcula D 1 y x 1dx dy. x y. 6 Esta versión puede contener errores

71 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES Solución. a Tenemos: T u 1 v 1 T u v u 1 + v 1 v 1 u 1 u 1 u v v 1 u u 1 v v 1 u + v v u Por lo tanto, T es inyectiva en intd. u 1 u u u 1 u 1 u v 1 v pues u 1 u v v 1. Claramente T es de clase C 1 sobre intd, pues los polinomios son de clase C 1. Calculemos ahora el jacobiano de la aplicación T en u, v intd. Tenemos, x x J T u, v u v 1 1 y y u u u, v intd. u v Desde el Teorema.3.3 y los puntos anteriores, concluimos que T es un difeomorfismo de clase C 1 de intd en T intd. b Ahora transformaremos, mediante T, cada vértice y lado del cuadrado D en el plano uv en su correspondiente puntos y lados ubicados en el plano xy. Partimos estudiando los vértices de D y su imagen asociada por T. Tenemos: u, v, que se corresponde con x, y u + v, v u u,v,, u, v 1, que se corresponde con x, y u + v, v u u,v1, 1, 1 u, v 1, 1 que se corresponde con x, y u + v, v u u,v1,1, u, v, 1 que se corresponde con x, y u + v, v u u,v,1 1, 1. El lado del cuadrado D que une el punto u, v, con el punto u, v 1,, está contenido en la recta v. Luego, x, y u + v, v u v u, u x u y y x. Por lo tanto, la curva que une los puntos, y 1, en el plano uv, se transforma mediante T en una curva del plano xy contenida en la parábola de ecuación y x. 61 Esta versión puede contener errores

72 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda El lado del cuadrado D que une el punto u, v 1, con el punto u, v 1, 1, está contenido en la recta u 1. Luego, x, y u + v, v u u1 1 + v, v 1 x 1 v y + 1 v y x +. Por lo tanto, la curva que une los puntos 1, y 1, 1 en el plano uv, se transforma mediante T en una curva del plano xy contenida en la recta de ecuación y x +. El lado del cuadrado D que une el punto u, v 1, 1 con el punto u, v, 1, está contenido en la recta v 1. Luego, x, y u + v, v u v1 u + 1, 1 u x 1 u 1 y u y 1 x 1. Por lo tanto, la curva que une los puntos 1, 1 y, 1 en el plano uv, se transforma mediante T en una curva del plano xy contenida en la parábola de ecuación y 1 x 1. El lado del cuadrado D que une el punto u, v, 1 con el punto u, v,, está contenido en la recta u. Luego, x, y u + v, v u u v, v x v y y x. Por lo tanto, la curva que une los puntos, 1 y, en el plano uv, se transforma mediante T en una curva del plano xy contenida en la recta de ecuación y x. La gráfica de T de D en D se muestra en la Figura.7. Figura.7. Gráfica de la aplicación T u, v u + v, v u x, y de D a T D D, donde D es la región limitada por las curvas y x, y 1 x 1 y x y y x. 6 Esta versión puede contener errores

73 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES c Si fx, y 1 y x 1 con x, y D, con D T D, entonces para cada u, v D obtenemos 1 fxu, v, yu, v v u u v 1 1 u + u + 1, d que es una función continua y acotada en D, pues es un cuociente entre funciones continuas la función constante y los polinomios son funciones continuas que no se anula en el denominador, y que está evaluada sobre una región acotada D es compacto en R ; es decir D es un conjunto cerrado y acotado en R. D 1 dx dy y x 1 u 1 + u dv du + u D u 1 + u dv du + u u + u + 1 v + uv 1 u 1 + u du + u + 1 lnu u1 + u + 1 ln3. u v1 v du PROPOSICIÓN.3.1 Sea T un difeomorfismo de clase C 1 tal que J T u x 1, x,..., x N u 1, u,..., u N. Entonces J 1 T u 1 x 1,x,...,x N u 1,u,...,u N u 1, u,..., u N x 1, x,..., x N J T 1 x. OBSERVACIÓN.3.4 La importancia de la Proposición.3.1 radica en el hecho que a veces conviene calcular u i x i en vez de calcular x i u i i 1,,..., N. EJEMPLO.3.7 Calcula D y x, x + y 4 y x + y 1. x+yx+y x 3 da donde D es el conjunto limitado por las curvas 63 Esta versión puede contener errores

74 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Solución. 1 Partimos buscando una aplicación S que transforme nuestra región en el plano xy en otra región en el plano uv que nos permita facilitar el cálculo de nuestra integral. Sean x, y D. Si ponemos u x + y, entonces x + y 4 x + y 1 u 4 u 1. Observemos ahora que la curva y x está compuesta de dos ramas: y x e y x, entonces parece útil buscar una variable v que considere esta situación. Notemos que el único punto de la forma, y D entre las curvas y x e y x es el punto,, el cual no pertenece a la región contenida entre las rectas x + y 4 y x + y 1. Luego, para puntos x, y entre las rectas x + y 4 y x + y 1, tenemos que y x Luego, si ponemos v y x 1 y x 1 e y x y x, entonces y x 1. y x 1 v 1 v 1. De esta forma, parece razonable considerar la aplicación S : V {x, y R : x > } R definida por x y S x y x + y y x u v. A continuación vamos a probar que S es un difeomorfismo de clase C 1 de V en SV, con V un conjunto abierto en R a determinar. Claramente S es de clase C 1, pues tanto ux, y x+y como vx, y y x son funciones de clase C 1 en {x, y R : x > }. Ahora estudiamos la inyectividad de S. Tenemos, x 1 S S x x1 + y 1 x + y y 1 y y 1 x1 y x x 1 + y x1 x x + y 64 Esta versión puede contener errores

75 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] x 1 S S y 1 x y.3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES x 1 x y x x x 1 x 1 y x + x + x 1 x x 1 x x + y x 1 x. Notemos que la segunda igualdad no se tiene si nos restringimos al conjunto abierto V dado por Por lo tanto, S es inyectiva en V. V { x, y R : x > x + y > }. Calculemos ahora el jacobiano de S. Para cada x, y V se tiene u u J S x, y x y 1 1 v v y x y y x 3 x x + 1 x + y, x 3 x y como entonces x > x + y > x + y >, J S x, y x, y V. Desde los puntos previos concluimos que S : V SV es un difeomorfismo de clase C 1. 3 Ahora debemos chequear que D V. Con este fin, estudiamos los puntos de intersección que se generan por las curvas que limitan a la región D, tenemos, y x x + y 4 4 x x x 1x + 16 x 8x. Por lo tanto, los puntos de intersección entre las curvas y x y x + y 4 son los puntos, y 8, 4. y x x + y 1 1 x x x 6x x 18x 8. Por lo tanto, los puntos de intersección entre las curvas y x y x + y 1 son los puntos 8, 4 y 18, 6. Notemos que todos los puntos quedan contenidos en la región V, así que D V. 4 Ahora, para comprender la situación que tenemos, vamos a relacionar la frontera de D con la frontera de su imagen por S. 65 Esta versión puede contener errores

76 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda El trozo del borde de D que une los puntos 8, 4 y 18, 6 en el plano xy, está contenido en la curva y x, que en el plano uv se transforma mediante S en la recta v 1. El trozo del borde de D que une los puntos 18, 6 y 8, 4 en el plano xy, está contenido en la recta y + x 1, que en el plano uv se transforma mediante S en la recta u 1. El trozo del borde de D que une los puntos 8, 4 y, en el plano xy, está contenido en la curva y x, que en el plano uv se transforma mediante S en la recta v 1. El trozo del borde en D que une el punto, y 8, 4 en el plano xy, está contenido en la recta y + x 4, que en el plano uv se transforma mediante S en la recta u 4. De esta forma, estamos en condiciones de trazar la gráfica de S de D en D SD. Figura.8. Gráfica de la aplicación Sx, y limitada por las curvas y + x 4, y + x 1 e y x. y x + y, x u, v de D en SD, donde D es la región 5 Observemos finalmente que estamos frente a una situación inversa a la deseada. Es decir, hemos encontrado un difeomorfismo que corresponde al difeomorfismo inverso que necesitamos según el Teorema.3. del cambio de variable. Esto es, S T 1 o bien T S 1. Así que para aplicar el Teorema.3., y en vista de la Proposición.3.1, debemos calcular J T u, v J S 1u, v. Tenemos, J S 1u, v x 3 1 x, y D. x + y Finalmente, obtenemos D x + yx + y 3 da x x + yx + y D 3 x 3 x Esta versión puede contener errores u du dv 1 du dv con x xu, v; y yu, v x + y por definición de u y v

77 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES EJERCICIOS Calcula D x da donde D es la región limitada por las curvas x1 y 1, x1 y, xy 1 y xy 3.. Sea a >. Calcula el valor de la integral } D {x, f, donde D y R : x 3 + y 3 a 3 y. fx, y a 3 x 3 y 3 Sugerencia: Si lo estimas conveniente, usa el cambio de variable x u cos 3 v e y u sen 3 v. 3. Calcula D e y x y+x da donde D es la región limitada por los ejes coordenados y la recta y + x. 4. Calcula D x + y da donde D es la región acotada por la curva x 4 + y Sean a > y b >. Mediante el cambio de variable u y x, v xy, el cuadrado D {a < x < a + h : b < y < b + h} del plano xy, se transforma en una región D del plano uv. a Calcula el jacobiano de T. b Encuentra la razón entre el área de la región D y el área de la región D. c Calcula el límite de la razón encontrada en a cuando h. Para ver las Soluciones de los Ejercicios.3.1 presiona aquí A.3.3. Integración doble en coordenadas polares La aplicación T : [, [ [, π] R r T θ r θ r cos θ r sen θ x y transforma coordenadas polares a coordenadas rectangulares. La restricción T :], [ ], π[ T ], [ ], π[ es un difeomorfismo de clase C 1. Un punto x, y del plano cartesiano puede se representado en coordenadas polares por el par ordenado r, θ cuya primera coordenada es igual a la distancia del punto al origen, esto es, r x + y ; y cuya segunda coordenada es igual al ángulo formado entre el eje horizontal y el trazo que une el 67 Esta versión puede contener errores

78 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda origen con el punto dado, por lo tanto se verifica que tan θ y x. Figura.9. La aplicación T r, θ r cos θ, r sen θ x, y transforma el rectángulo en coordenadas polares dado por D {r, θ R : r a θ π}, en el círculo en coordenadas rectangulares dado por D {x, y R : x + y a}. Como estamos interesados en calcular integrales usando este cambio de variable, necesitamos calcular el jacobiano asociado a la restricción de T : x x J T r, θ r θ cos θ r sen θ y y sen θ r cos θ rcos θ + sen θ r. r θ Luego, por el Teorema.3. del cambio de variable, para toda función continua e integrable f : D R R, donde D T D, se tiene que fx, y dx dy fr cos θ, r sen θ r dr dθ. D D EJEMPLO.3.8 Sea D una corona circular de radio menor a 1 y radio mayor a, ubicada entre los ángulos < α 1 < π < α < π, y sea f : D R R una función continua sobre su dominio. Establece una fórmula para la integral D fx, y da, usando el cambio de variable de coordenadas polares a rectangulares. Solución. Se tiene que D fx, y da a α a 1 α 1 fr cos θ, r sen θ r dθ dr. 68 Esta versión puede contener errores

79 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES Figura.3. La aplicación T r, θ r cos θ, r sen θ x, y transforma el conjunto D {r, θ,, π] : a 1 r a α 1 θ α }, < α 1 < π < α < π, en el conjunto D {x, y R : a 1 x + y a y x tan α 1 y x tan α }. EJEMPLO.3.9 Sea D el círculo de radio a y centro en x, y, y sea f : D R R una función continua en su dominio. Establece una fórmula para la integral D fx, y da, usando el cambio de variable de coordenadas polares a rectangulares. Solución. Como cada punto x, y del círculo de radio a y centro en x, y satisface la inecuación x x + y y a, podemos poner x x r cos θ e y r sen θ con < r a, y < θ π, y considerar el difeomorfismo T : ], a[ ], π[ T ], a[ ], π[, definido por r T r x + r cos θ x. θ θ y + r sen θ y Es fácil chequear que J T r, θ r, pues r >, de manera que D fx, y da a π fx + r cos θ, y + r sen θ r dθ dr. EJEMPLO.3.1 Sea D es el círculo de radio a y centro en el origen. Calcula D x + y da Solución. Se tiene que D x + y da a π r 3 dθ dr π a4. 69 Esta versión puede contener errores

80 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO.3.11 Calcula el área encerrada por la cardioide r 1 + cos θ. Solución. Sea A el área de la cardioide, y sea T D D la región encerrada por la cardioide, donde T es la aplicación de coordenadas polares a rectangulares. Entonces A da r dr dθ D D π 1+cos θ π r r1+cos θ 1 1 π r r dr dθ dθ 1 + cos θ cosθ 3 senθ θ + sen θ π. θπ θ dθ Figura.31. Gráfica de la cardioide r 1 + cos θ. EJERCICIOS Mediante el uso de una integral doble, calcula el volumen del sólido en el primer octante limitado por el cono z r y el cilindro r 3 sen θ.. Sea a > y sea D la región del primer cuadrante acotada por la circunferencia x + y a y los ejes coordenados. Calcula el valor de D e x +y dx dy. 3. Calcula el valor de la integral D x + y 3 da, donde D es el anillo determinado por la inecuación 1 x + y 4. 7 Esta versión puede contener errores

81 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES 4. Calcula el área del interior de una hoja de la rosa r cos3θ. Para ver las Soluciones de los Ejercicios.3. presiona aquí A.3.4. Integración triple en coordenadas cilíndricas La aplicación T : [, [ [, π] ], [ R 3 r θ z T transforma coordenadas cilíndricas en rectangulares. r θ z r cos θ r sen θ z x y z La restricción T :], [ ], π[ ], [ T ], [ ], π[ ], [ es un difeomorfismo de clase C 1. Un punto x, y, z del espacio en coordenadas rectangulares puede ser representado en coordenadas cilíndricas por el trío r, θ, z cuya primera coordenada es igual a la distancia entre la proyección del punto en el plano xy y el origen, esto es, r x + y ; cuya segunda coordenada θ es igual al ángulo formado entre el eje x y el trazo que une la proyección del punto sobre el plano xy con el origen, por lo tanto se verifica que tan θ y x ; y cuya tercera coordenada es igual a la tercera coordenada rectangular, esto es, z z. Figura.3. La aplicación T r, θ, z r cos θ, r sen θ, z x, y, z transforma el rectángulo en coordenadas cilíndricas dado por D {r, θ, z R 3 : r r θ π z z }, en el cilindro en coordenadas rectangulares dado por D {x, y, z R 3 : x + y a : z b}. 71 Esta versión puede contener errores

82 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Como estamos interesados en calcular integrales usando este cambio de variable, necesitamos calcular el jacobiano asociado a la restricción de T : x x x r θ z cos θ r sen θ J T r, θ, z y y y r θ z sen θ r cos θ z z z 1 r θ z rcos θ + sen θ r. Luego, por el Teorema.3. del cambio de variable, para toda función continua e integrable f : D R 3 R, donde D es la imagen por T de D, se tiene que fx, y, z dx dy dz fr cos θ, r sen θ, z r dr dθ dz. D D EJEMPLO.3.1 Calcula el volumen del sólido encerrado por la esfera x + y + z 16 y el cilindro x + y 4, al interior del cilindro. Solución. Sea T D D la región encerrada por la esfera x + y + z 16 y el cilindro x + y 4, donde T es la aplicación de coordenadas cilíndricas a rectangulares. Figura.33. Gráfica de la región D acotada por la esfera x + y + z 16 y el cilindro x + y 4. 1 o Partimos transformando las ecuaciones que encierran la región. Primero transformamos la ecuación de la esfera. Tenemos, x + y + z 16 r + z 16. Transformamos ahora la ecuación del cilindro. Tenemos x + y 4 x + y 4x r 4r cos θ r 4 cos θ. 7 Esta versión puede contener errores

83 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES o A continuación buscamos límites de integración adecuados para la región D, que es la región que está dada en coordenadas cilíndricas. Tomando en cuenta los cálculos previos, obtenemos para z: r + z 16 z 16 r z ± 16 r. Por lo tanto, obtenemos que la variable z queda limitada de la siguiente forma φr, θ 16 r z 16 r ψr, θ..11 Determinemos ahora el rango de variación de las variables r y θ. Para esto, estudiamos la proyección del cuerpo D sobre el plano xy o bien plano z. Es fácil chequear que esta proyección corresponde al círculo x + y 4. Figura.34. Gráfica de r 4 cos θ. Según podemos apreciar en la figura.34, la variable r queda limitada de la siguiente forma uθ r r cos θ vθ,.1 mientras que la variable θ queda limitada de la siguiente forma π θ π Esta versión puede contener errores

84 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda En resumen, la región D sobre la cual vamos a integrar está limitada por: π θ π r 4 cos θ 16 r z 16 r. Por lo tanto, si V es el volumen de la región T D D, donde T es la aplicación que transforma coordenadas cilíndricas a rectangulares, obtenemos V D dx dy dz r dr dθ dz D π π π π 4 cos θ 16 r 4 cos θ 16 r 4 cos θ π 4 cos θ π r r dz dr dθ rz z 16 r z r dz dr dθ dr dθ r 16 r dr dθ 3 16 r 3 π r4 cos θ r dθ 1 cos θ sen θ 1 dθ cos θ + cos3 θ θ π θ π 4. 9 θ EJERCICIOS Sea D la bola unitaria en R 3. Calcula el valor de D zex +y +z dx dy dz.. Sea D el sólido acotado por el cilindro x + y 4, el paraboloide z x + y y el plano xy. Calcula D z dx dy dz. 3. Sea D {x, y, z R 3 : x + y < 1 : z 1}. Calcula el valor de D z e x y dx dy dz. 74 Esta versión puede contener errores

85 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES 4. Sea D el volumen exterior a la hoja superior del cono z x + y e interior al cilindro x + y 1, con z. Para ver las Soluciones de los Ejercicios.3.3 presiona aquí A.3.5. Integración triple en coordenadas esféricas La aplicación T : [, [ [, π] [, π] R 3 ρ θ φ T transforma coordenadas esféricas en rectangulares. ρ θ φ ρ cos θ sen φ ρ sen θ sen φ ρ cos φ x y z La restricción T :], [ ], π[ ], π[ T ], [ ], π[ ], π[ es un difeomorfismo de clase C 1. Un punto x, y, z del espacio en coordenadas rectangulares puede ser representado en coordenadas esféricas por el trío ρ, θ, φ cuya primera coordenada es igual a la distancia entre el punto y el origen, esto es, ρ x + y + z ; cuya segunda coordenada θ es igual al ángulo formado entre el eje x y el trazo que une la proyección del punto sobre el plano xy con el origen, por lo tanto se verifica que tan θ y x ; y cuya tercera coordenada es igual al ángulo entre el eje z y el trazo que une el punto con el origen, por lo tanto se verifica que cos φ z x + y + z. Figura.35. La aplicación T ρ, θ, φ ρ cos θ sen φ, ρ sen θ sen φ, ρ cos φ x, y, z transforma el rectángulo en coordenadas esféricas dado por D {ρ, θ, φ R 3 : ρ r θ π φ π}, en la bola en coordenadas rectangulares dada por D {x, y, z R 3 : x + y + z a }. 75 Esta versión puede contener errores

86 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Como estamos interesados en calcular integrales usando este cambio de variable, necesitamos calcular el jacobiano asociado a la restricción de T : x x x ρ θ φ cos θ sen φ ρ sen θ sen φ ρ cos θ cos φ y y y J T ρ, θ, φ sen θ sen φ ρ cos θ sen φ ρ sen θ cos φ ρ sen φ. ρ θ φ z z z cos φ ρ sen φ ρ θ φ Luego, por el Teorema.3. del cambio de variable, para toda función continua e integrable f : D R 3 R, donde D es la imagen por T de D, y dado que sen φ > si φ ], π[, se tiene que D fx, y, z dx dy dz fρ cos θ sen φ, ρ sen θ sen φ, ρ cos φ ρ sen φ dρ dθ dφ. D EJEMPLO.3.13 Calcula el volumen del sólido encerrado por la esfera x + y + z 4z y el cono x + y z, contenido en la región z, al interior del cono. Solución. Observemos que la región de integración es un cono invertido cuya tapa superior es una semiesfera. Usando coordenadas esféricas obtenemos Figura.36. Sólido encerrado por la esfera x + y + z 4z y el cono x + y z, contenido en la región z. x + y z z x + y + z z ρ ρ cos φ cos φ 1 φ π 4 76 Esta versión puede contener errores

87 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].3. CAMBIO DE VARIABLE EN INTEGRALES MÚLTIPLES y x + y + z 4z ρ 4ρ cos φ ρ 4 cos φ. Luego, la región D sobre la cual vamos a integrar está limitada por < ρ 4 cos φ < θ π < φ π 4. Por lo tanto, si V es el volumen de la región T D D, donde T es la aplicación que transforma coordenadas esféricas a rectangulares, obtenemos V D dx dy dz π 4 π 4 cos φ π 4 π ρ 3 π 4 π π 4 3 sen φ ρ sen φ dρ dθ dφ ρ4 cos φ ρ dθ dφ 64 cos 3 φ sen φ dθ dφ 3 64 cos 3 φ θπ sen φ θ 3 dφ π 64 3 π π. π 4 cos 3 φ sen φ dφ cos 4 φ φ π 4 4 φ θ EJERCICIOS Sea D la bola unitaria en R 3. Calcula el valor de D ex +y +z 3 dx dy dz.. Sea D la bola de R 3 de radio a y centro en el origen. Encuentra su volumen. 3. Sea D la bola unitaria en R 3. Calcula el valor de D x + y + z dx dy dz. 4. Sea D el octavo de esfera ubicado en el primer octante. Calcula el valor de xyz dx dy dz. D Para ver las Soluciones de los Ejercicios.3.4 presiona aquí A 77 Esta versión puede contener errores

88 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda.3.6. Integración triple en coordenadas toroidales La aplicación T : [, R] [, π] [, π] R 3 r θ φ T transforma coordenadas esféricas en rectangulares. r θ φ R + r sen φ cos θ R + r sen φ sen θ r cos φ x y z La restricción T :], R[ ], π[ ], π[ T ], R[ ], π[ ], π[ es un difeomorfismo de clase C 1. Un punto x, y, z del espacio en coordenadas rectangulares puede ser representado en coordenadas esféricas por el trío r, θ, φ cuya primera coordenada está determinada por la siguiente relación r x + y R + z cuya segunda coordenada θ es igual al ángulo formado entre el eje x y el trazo que une la proyección del punto sobre el plano xy con el origen, por lo tanto se verifica que tan θ y x ; y cuya tercera coordenada está determinada por la relación cos φ z x + y R. + z Figura.37. La aplicación T r, θ, φ R + r sen φ cos θ, R + r sen φ sen θ, r cos φ x, y, z transforma el rectángulo en coordenadas toroidales dado por D {r, θ, φ R 3 : r r < R θ π φ π}, en el toro de radio mayor R y radio menor a en coordenadas rectangulares dada por D { x, y, z R 3 : x + y R + a z }. 78 Esta versión puede contener errores

89 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].4. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE IMPROPIA Como estamos interesados en calcular integrales usando este cambio de variable, necesitamos calcular el jacobiano asociado a la restricción de T : x x x r θ φ cos θ sen φ R + r sen φ sen θ r cos θ cos φ y y y J T r, θ, φ sen θ sen φ R + r sen φ cos θ r sen θ cos φ rr r sen φ. r θ φ z z z cos φ r sen φ r θ φ Luego, por el Teorema.3. del cambio de variable, para toda función continua e integrable f : D R 3 R, donde D es la imagen por T de D, y dado que sen φ > si φ ], π[, se tiene que D fx, y, zdxdydz fr + r sen φ cos θ, R + r sen φ sen θ, r cos φrr + r sen φdrdθdφ. D.4. Integración múltiple impropia Hasta el momento hemos estudiado D bajo el supuesto que f es acotada sobre D y el supuesto que D es acotado. En esta sección nos interesa extender la definición de integral múltiple al caso en que uno de los supuestos anteriores no se cumple, en cuyo caso hablamos de integral múltiple impropia. EJEMPLO.4.1 Sea D [1, [1,, sea f : D R definida por f x, y fx, y 1 x + y, y considera para cada n N, R n [1, n] [1, n]. Es claro que R n D R n R n+1 n N fx, y dx dy fx, y dx dy. R n R n+1 n1 Es posible definir D fx, y dx dy? Solución. Parece razonable esperar que, si existiese el valor D fx, y dx dy, entonces se debiese verificar Sin embargo, D fx, y dx dy lím fx, y dx dy. n R n Cómo garantizamos que tal límite existe? 79 Esta versión puede contener errores

90 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Como fx, y 1 x + y x, y R, es fácil chequear que la sucesión {a n } n N, cuyos términos se definen por a n f n N, R n es una sucesión creciente de números positivos. Recordemos ahora el siguiente resultado: Toda sucesión de números reales {x n } n N que es creciente y acotada superiormente, posee límite cuando n. Más aún, su límite es igual a su supremo. Luego, si nuestra sucesión fuese acotada superiormente, entonces su límite cuando n, debiese ser igual a su supremo. Veamos que efectivamente existe M > tal que 1 < R n x + y dx dy M n N. Notemos que R n D n {x, y R : 1 x + y n }; y pasando a coordenadas polares, obtenemos 1 R n x + y dx dy Por lo tanto, n π 1 1 r dθ dr π r4 1 1 lím n R n x + y dx dy. 1 r 3 dr π < n N. Sin embargo, el resultado obtenido aún no es suficiente para garantizar la existencia de 1 x + y dx dy. D Debemos preguntarnos por aquello que sucede al cambiar la familia de conjuntos {R n } n N. En concreto, Qué sucede si cambiamos la familia de conjuntos {R n } n N por otra familia de conjuntos acotados {R n} n N verificando n1 R n D y R n R n+1, para cada n N? Esta pregunta es crucial, pues de existir D 1 x + y dx dy, su valor no puede depender de la elección particular de la familia {R n } n N que cumpla las condiciones antes mencionadas. 8 Esta versión puede contener errores

91 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].4. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE IMPROPIA En nuestro caso, notemos que cualquier familia de conjuntos acotados {R n} n N tal que R n D R n R n+1, n N, n1 verifica lo siguiente: k N n k N tal que n Nn n k R k R n. La veracidad de la afirmación previa se debe al principio de Arquímides, que señala lo siguiente: Dado un número real r, existe un número natural n r tal que r < n r. De esta forma, la sucesión {b n } n N de las integrales correspondientes a la familia de conjuntos {R n} n N, es decir, b n R n 1 x + y dx dy n N, que es una sucesión creciente de números positivos, queda acotada superiormente por el supremo de la sucesión {a n } n N de las integrales correspondientes a la familia de conjuntos {R n } n N ; y por lo tanto la sucesión {b n } n N será convergente. Por otro lado, como {R n } n N y {R n} n N son, ambas, sucesiones de conjuntos crecientes en el sentido de la inclusión, y tales que convergen a D, entonces p N k p N tal que k N k k p mr p \ R k < 1, p donde mr p \ R k R p\r k dx dy. Se sigue que, dado p N, existen k p, n kp N tales que 1 R p x + y dx dy C p R kp 1 1 x + y dx dy R nkp x + y dx dy, donde C p R p\r kp 1 x + y dx dy cuando p. Recordemos ahora que: Toda subsucesión de una sucesión convergente es convergente, y converge al mismo límite de la sucesión. 81 Esta versión puede contener errores

92 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda De esta forma, la subsucesión de números reales {a nkp } p N, donde 1 a nkp R nkp x + y dx dy, es convergente, y converge al mismo límite de la sucesión {a p } p N. Luego, por una simple aplicación del Teorema del Sandwich, concluimos que la subsucesión {b kp } p N, donde 1 b kp x + y dx dy, es convergente, y converge al mismo límite que la sucesión {a p } p N. Finalmente, recordemos que R kp Si una sucesión creciente de números reales posee una subsucesión convergente, entonces la sucesión completa resulta convergente, y converge al mismo límite que la subsucesión. Entonces, por construcción, concluimos que el límite de la sucesión de números 1 x + y dx dy debe ser el mismo límite que el de la sucesión de números 1 R p x + y dx dy, lo cual nos conduce a pensar que es posible definir 1 x + y dx dy. D R k Sea f una función continua que es integrable en cada subconjunto compacto de R N, sea D un conjunto no acotado de R N, y consideremos una familia de conjuntos {D n } n N en R N, tal que D n D, D n D n+1 n N n1 y fx, y dx dy D n fx, y dx dy. D n+1 Es evidente que la condición de acotamiento: M > tal que fx, y dx dy < M D n n N. por sí misma, no es suficiente para garantizar convergencia de la integral D n fx, y dx dy, en particular cuando la función f cambia de signo. 8 Esta versión puede contener errores

93 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].4. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE IMPROPIA En efecto, sabemos que Toda sucesión acotada de números reales posee al menos una subsucesión convergente. Entonces, podría darse el caso en que la sucesión de números { } fx, y dx dy D n en realidad tuviese más de una subsucesión convergente, y que no necesariamente ambas converjan al mismo límite, como por ejemplo ocurre con la sucesión de números reales { 1 n } n N que posee una subsucesión que converge a 1 la subsucesión de los subíndices pares y otra a 1 la subsucesión de los subíndices impares. De esta forma, para estudiar integrabilidad en situaciones impropias más generales, es conveniente introducir las siguientes funciones. DEFINICIÓN.4.1 Sea D un conjunto en R N, y sea f : D R una función. Llamamos Función parte positiva de f a la función f + : D R, definida por { fx si fx f + x si fx <. Función parte negativa de f a la función f : D R, definida por { fx si fx f x si fx >. OBSERVACIÓN.4.1 Sea D un conjunto en R N, y sea f : D R una función. Es fácil chequear que f + y f son mayores o iguales que, que verifican lo siguiente f f + f y f f + + f. Además, introducimos una clase de conjuntos que consideraremos en nuestras definiciones formales a continuación. 83 Esta versión puede contener errores

94 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN.4. Sea D un conjunto en R N tal que intd y tal que todo subconjunto acotado de su frontera FrD tiene contenido cero. Sea JD { B R N : B intd : B es medible Jordan }. y sea f : D R una función tal que B f existe para cada B JD. Si los números { } a sup f + : B JD B y no son ambos infinitos, entonces definimos Sea D un conjunto en R N frontera FrD tiene contenido cero. Se tiene que: { } b sup f : B JD B D f a b. tal que intd y tal que todo subconjunto acotado de su Si D es cerrado y acotado y f es integrable sobre D, entonces a y b son ambos finitos y se cumple que D f a b, por lo cual la definición de integral dada aquí es consistente con la noción de integral de Riemann que ya conocíamos. Si D no es acotado o si f no es acotada sobre D o ambas situaciones a la vez, decimos que f D es una integral impropia, la cual converge al valor a b si ambos valores son finitos, o bien diverge en otro caso. TEOREMA.4.1 Sea D un conjunto en R N tal que intd y tal que todo subconjunto acotado de su frontera FrD tiene contenido cero, y sea f : D R una función. Asumamos que D no es acotado o que f no es acotada sobre D o ambas situaciones a la vez. Si la integral impropia D f converge a un valor finito o diverge a ±, y si {B n } n N es una familia de conjuntos en JD tal que entonces intd intb n y B n B n+1 n N, n1 D f lím f. n B n 84 Esta versión puede contener errores

95 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].4. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE IMPROPIA TEOREMA.4. Sea D un conjunto en R N tal que intd y tal que todo subconjunto acotado de su frontera FrD tiene contenido cero, y sea f : D R una función. Si D no es acotado o si f no es acotada sobre D o ambas situaciones a la vez, entonces: la integral impropia D f converge si y solo si la integral D f converge. OBSERVACIÓN.4. Bajo las hipótesis del Teorema.4. anterior, si f es una función no negativa en D, entonces D f converge a un número real no negativo, o bien diverge a +. Frecuentemente resultan de utilidad los siguientes resultados. COROLARIO.4.1 Sea D un conjunto en R N tal que intd y tal que todo subconjunto acotado de su frontera FrD tiene contenido cero, y sea f : D R una función. Si D f converge o diverge a ± y {B ρ : a < ρ < b} es una familia de conjuntos en JD tal que D intb ρ y B ρ1 B ρ ρ 1, ρ a, b tales que ρ 1 < ρ, a<ρ<b entonces D f lím f. ρ b B ρ Si D f converge o diverge a ± y {B ρ : a < ρ < b} es una familia de conjuntos en JD tal que D intb ρ y B ρ B ρ1 ρ 1, ρ a, b tales que ρ 1 < ρ, a<ρ<b entonces D f lím f. ρ a + B ρ TEOREMA.4.3 Criterio de comparación Sea D un conjunto en R N tal que intd y tal que todo subconjunto acotado de su frontera FrD tiene contenido cero, y sean f, g : D R dos funciones integrables sobre cualquier conjunto que pertenezca a JD. Si fx gx x D, entonces i f converge si ii D D g diverge si D D g converge f diverge. 85 Esta versión puede contener errores

96 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO.4. Estudia la convergencia de 1 I R 1 + x + y p da. Solución. Sea p R y pongamos fx, y x + y p > x, y R. Como f es continua y positiva sobre R, tenemos que I o bien converge o bien diverge a +. Consideremos los conjuntos B n {x, y R : x + y n } n N, los cuales verifican R intb n B n B n+1 n N. n1 Luego, usando el difeomorfismo T que transforma coordenadas polares a rectangulares, para obtenemos que T B n B n. Se sigue que I n B n {r, θ : < θ π < r n} n N, 1 B n 1 + x + y dx dy p π n π p 1 r 1 + r dr dθ p n p 1 si p 1 π ln1 + n si p 1. Luego, aplicando el Teorema.4.1 obtenemos I lím n I n π p 1 si p > 1 si p 1. EJEMPLO.4.3 Evalúa, si es posible, R Solución. Notemos que la integral R 1 3 dx dy, donde R [, 1] [, 1]. x y 1 3 dx dy es impropia, pues la función x y fx, y 1 3 x y 86 Esta versión puede contener errores

97 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].4. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE IMPROPIA se indetermina sobre la recta x y en R, y de hecho se tiene que por lo que la función f no es acotada en lím fx, y +, x y R \ {x, y R : x y}, siendo {x, y R : x y} un conjunto de contenido cero en R. Luego, para cada n N conviene considerar las regiones R 1,n { x, y R : x + 1 n y 1 x 1 1 } n y R,n { x, y R : y x 1 n } 1 n x 1. Notemos que R 1,n R,n R 1,n+1 R,n+1 R n N y R 1,n R,n R \ {x, y R : x y}. n1 De esta forma, cualquier punto de la unión de las regiones R 1,n R,n está lejos de los puntos de la recta x y en la región R. Ahora integramos sobre cada una de estas regiones, y a su vez pasamos al límite I 1 lím n R 1,n 1 3 x y 1 1 n da lím n lím n n 1 1 n 3 lím n 3 lím n dy dx 3 x y y1 x y 1 3 dx x+ 1 n yx+ 1 n x n 3 4 x dx 1 1 x1 1 3 n x n x Análogamente, 87 Esta versión puede contener errores

98 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda I lím n R,n 1 3 x y da lím n lím n 1 x 1 n 1 n lím n 3 lím n n 1 1 n 1 n 1 dy dx 3 x y yx 1 x y 1 n 3 dx 1 1 n y 3 x x 3 4 x 4 3 dx x1 x 1 n Por lo tanto, I I 1 + I 9. OBSERVACIÓN.4.3 Debemos ser cuidadosos al emplear el Teorema.4.1. En efecto, si f sobre D, basta escoger cualquier sucesión conveniente en el sentido de la inclusión {B n } n N de JD que satisfaga n1 B n y B n B n+1, para cada n N, con el fin de obtener f lím f. B n B n Sin embargo, cuando f cambia de signo sobre D, una elección particular de la familia de los {B n } puede producir un límite finito en JD, lo que nos puede llevar a concluir que D f converge, aún cuando esto pueda no ser cierto, como veremos en el siguiente ejemplo. EJEMPLO.4.4 Sea D [, [,. Estudia la convergencia de y cos x dx dy. Solución. Consideremos la familia de conjuntos B n [, nπ] [, nπ]. D Claramente, y se verifica que intd intb n B n B n+1 n N, i1 lím y cos x dx dy 1 n B n lím nπ sen nπ n. 88 Esta versión puede contener errores

99 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].4. INTEGRACIÓN MÚLTIPLE IMPROPIA Notemos que esto no es suficiente para concluir que la integral D y cos x dx dy converge. De hecho, esta integral no converge. En efecto, consideremos ahora la familia de conjuntos [ B n, 4n 1 π ] [, 4n 1 π ] n N. Claramente, intd intb n B n B n+1 n N, i1 y se verifica que lím y cos x dx dy 1 n B n lím 4n 1 π sen 4n 1 π n. Esto muestra que la integral impropia D y cos x dx dy no converge. Para no cometer el tipo de error que se ha señalado en la Observación.4.3, y que fue ilustrado en el Ejemplo.4.4, cuando f sea una función que cambia de signo procederemos de la siguiente forma 1 o Aplicamos el Teorema.4.1 o el Teorema.4.3 a la función f f + + f, con f + y f. Si aplicamos el Teorema.4.1, consideramos una familia cualquiera de conjuntos {B n } n N que verifique las condiciones de tal teorema, de manera que podamos determinar si f converge o diverge. o Si D f converge; es decir, si D D f <, entonces D f converge. Si queremos obtener un valor para D f, aplicamos el Teorema.4.1. Como f f + f, consideramos una familia cualquiera de conjuntos {B n } n N que verifique las condiciones del Teorema.4.1, de manera que podremos determinar el valor de D f + y D f ; y así f D D f + D f. 89 Esta versión puede contener errores

100 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJERCICIOS Estudia la convergencia de la integral doble I p R R {x, y R : x 1 y 1}. 1 da, p >, donde x +y p 1 Sugerencia: Nota que > x, y R \ {, }, y que D x +y p 1 R D, donde D 1 {x, y R : x + y } y D {x, y R : x + y 1 }. Luego, puedes usar coordenadas polares y comparar.. Estudia la convergencia de la integral triple I q D D {x, y, z R 3 : x + y + z 1}. En particular, evalúa I q para q 1 y para q 1. 1 x +y +z q dv, q >, donde Sugerencia: Nota que si q > entonces 1 q x +y +z q 1 x +y +z q 1 x +y +z q x, y, z R 3. Luego, puedes usar coordenadas esféricas y el criterio de comparación para estudiar la convergencia. Para ver las Soluciones de los Ejercicios.4.1 presiona aquí A.5. Aplicaciones de la integración múltiple.5.1. Masa, centro de masa y momentos en R Para fijar ideas, en esta sección partimos considerando una lámina o placa rectangular delgada R contenida en el plano xy. Más específicamente, aquí consideramos R [a, b] [c, d], y denotamos por: δx, y a la función densidad de área de la lámina en el punto x, y R, en asumimos continua sobre R. P 1,m {a x, x 1,..., x m b} a una partición de [a, b] P,n {c y, y 1,..., y n d} a una partición de [c, d] [ kg m ], la cual P P 1,m P,n a la partición rectangular de R generada por P 1,m y P,n, la cual consta de m n rectángulos aquí denotados por R ij, i 1,,..., m; j 1,,..., n. Masa Para encontrar la medida de la masa total de la lámina procedemos de la siguiente forma: Sea x ij, ȳ ij R un punto cualquiera del rectángulo R ij ; cuya área es mr ij x i y j ; entonces una 9 Esta versión puede contener errores

101 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].5. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN MÚLTIPLE aproximación de la medida de la masa del rectángulo R ij es δ x ij, ȳ ij x i y j, y sumando la medida de la masa de cada región R ij, obtenemos una aproximación de la medida de la masa del rectángulo R, la cual está dada por n j1 i1 m δ x ij, ȳ ij x i y j. Por lo tanto, pasando al límite cuando P recordar que P máx{ P 1,m, P,n }, m,n obtenemos que la medida M de la masa de la lámina completa está dada por M lím n P m,n j1 i1 m δ x ij, ȳ ij x i y j R δx, y da Momentos estáticos primeros momentos DEFINICIÓN.5.1 Llamamos momento estático de una partícula de masa m [kg] en torno a un eje, al valor r m [kg][m], donde r es la distancia desde la partícula al eje. La medida del primer momento en torno a un eje de una partícula que posee masa, corresponde al producto entre la masa de la partícula y su distancia que considera el signo a tal eje. De esta forma, la medida del momento de masa del rectángulo R ij con respecto al eje x se calcula en forma aproximada por la cantidad ȳ ij δ x ij, ȳ ij x i y j, y sumando la medida del momento de masa de cada región, obtenemos una aproximación de la medida del momento de masa del rectángulo R con respecto al eje x, la cual está dada por n j1 i1 m ȳ ij δ x ij, ȳ ij x i y j. Por lo tanto, pasando al límite cuando P, obtenemos que la medida M x del momento de m,n masa con respecto al eje x de la lámina completa corresponde a M x lím n P m,n j1 i1 m ȳ ij δ x ij, ȳ ij x i y j R y δx, y da Análogamente, la medida del momento de masa del rectángulo R ij con respecto al eje y se calcula 91 Esta versión puede contener errores

102 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda en forma aproximada por x ij δ x ij, ȳ ij x i y j, y sumando la medida del momento de masa de cada región, obtenemos una aproximación de la medida del momento de masa del rectángulo R, la cual está dada por n m x ij δ x ij, ȳ ij x i y j. j1 i1 Por lo tanto, pasando al límite cuando P, obtenemos que la medida M y del momento de m,n masa con respecto al eje y de la lámina completa corresponde a M y lím n P m,n j1 i1 m x ij δ x ij, ȳ ij x i y j R x δx, y da Centro de masa El centro de masa de una lámina se representa geométricamente por el punto x, ȳ, que en términos dinámicos se comporta como el punto donde el balanceo de la lámina permanece en equilibrio. Entonces, x M y M e ȳ M x M Momentos de inercia segundos momentos DEFINICIÓN.5. Llamamos momento de inercia de una partícula de masa m [kg] en torno a un eje, al valor r m [kg][m ], donde r es la distancia desde la partícula al eje. Desde la definición anterior es razonable pensar que si tenemos n partículas, entonces el momento de inercia total debe ser la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas. Siguiendo esta idea, tenemos que el momento de inercia total debe ser n I ri m i. i1 A continuación extendemos este concepto a una distribución continua de masa en una región del plano xy. Procedemos como sigue: Sea x ij, ȳ ij R un punto cualquiera del rectángulo R ij ; cuya área es mr ij x i y j ; entonces una aproximación de la medida del momento de inercia respecto del eje x en el rectángulo R ij será ȳij δ x ij, ȳ ij x i y j Luego, sumando los momentos de inercia de cada rectángulo R ij y pasando al límite cuando 9 Esta versión puede contener errores

103 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].5. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN MÚLTIPLE P, obtenemos que la medida I x del momento de inercia respecto al eje x de la lámina m,n completa es n m I x lím ȳij δ x ij, ȳ ij x i y j y δx, y da P m,n j1 i1 R Análogamente, la medida I y del momento de inercia respecto al eje y de la lámina completa es n m I y lím x ij δ x ij, ȳ ij x i y j x δx, y da P m,n j1 i1 R Ahora, tomando en cuenta que la distancia de un punto x, y R al origen está dada x + y, también podemos calcular la medida I del momento de inercia respecto al origen de la lámina completa, la que corresponde a n m I lím x ij + ȳij δ x ij, ȳ ij x i y j x + y δx, y da P m,n j1 i1 R Finalmente, dada una recta L, y considerando la distancia de un punto x, y en la lámina, a la recta, distancia que aquí denotamos por rx, y; podemos calcular la medida I L del momento de inercia respecto de la recta L de la lámina completa, la que corresponde a n m I L lím r x ij, ȳ ij δ x ij, ȳ ij x i y j rx, y δx, y da P m,n j1 i1 R OBSERVACIÓN.5.1 Las fórmulas obtenidas son válidas en dominios generales donde la función densidad resulte integrable. Más aún, las fórmulas incluso se pueden validar para integrales impropias cuando éstas convergen. Fórmulas para la masa y momentos de láminas delgadas en el plano xy Masa: M R δx, y da Momentos estáticos primeros momentos con respecto a los ejes coordenados: M x y δx, y da y M y x δx, y da. R R 93 Esta versión puede contener errores

104 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Centro de masa: x, ȳ x M y M e ȳ M x M. OBSERVACIÓN: Si la densidad es constante, el centro de masa se denomina centroide. Momentos de inercia segundos momentos con respecto a los ejes coordenados: I x y δx, y da e I y x δx, y da. R Momento de inercia con respecto a una recta L: I L rx, y δx, y da, donde rx, y es la distancia del punto x, y a la recta L. Momento de inercia con respecto al origen momento polar: I x + y δx, y da I x + I y. Radios de giro: R R respecto del eje x: R x R Ix M, Iy respecto del eje y: R y M, I respecto del origen: R M. EJEMPLO.5.1 Determina la masa de una lámina que tiene la forma de una región limitada por la curva y 1 x en el semiplano y y cuya densidad está dada por la fórmula δx, y e x +y. Solución. Se nos pide calcular cuya región de integración está dada por M D e x +y dx dy, D {x, y R : 1 x 1 y 1 x }. Para realizar el cálculo de la integral requerida, transformamos la región D mediante el uso de coordenadas polares. Ponemos T r, θ r cos θ, r sen θ x, y, y obtenemos T D D, donde D {r, θ : r 1 < θ π}. 94 Esta versión puede contener errores

105 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].5. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN MÚLTIPLE Luego, M D e x +y dx dy 1 π 1 π 1 r e r dr dθ r1 er r π dθ e 1 dθ π e 1. EJEMPLO.5. Calcula el centro de masa de una lámina que tiene la forma de una región limitada por la semicircunferencia de ecuación x a + y a y el eje x, en la zona donde y, y cuya densidad superficial en un punto cualquiera es proporcional a su distancia al origen. Solución. Sea D { x, y R : x a + y a 4 } y y sea k la constante de proporcionalidad entre la densidad superficial en un punto de la lámina y la medida de la distancia de este punto al origen. Notemos que la ecuación de la semicircunferencia se puede reescribir en la forma x + y ax, y que la distancia de un punto x, y al origen es x + y. Luego, pasando a coordenadas polares T r, θ r cos θ, r sen θ x, y, la ecuación de la semicircunferencia equivale a r a r cos θ r a cos θ pues r >, mientras que la distancia de un punto x, y al origen equivale a r. Además, T D D, donde { D r, θ : < r a cos θ < θ π }. Luego, la masa de la lámina es M D k x + y da k π π a cos θ r 3 3 k 3 a3 π k 3 a3 π a cos θ k r dr dθ dθ cos 3 θ dθ cos θ1 sen θ dθ k sen 3 a3 θ 1 θ π 3 sen3 θ 9 ka3. θ 95 Esta versión puede contener errores

106 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Ahora calculamos los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados, M x y k π x + y a cos θ da k r 3 sen θ dr dθ D k π 4 sen θ r 4 k 4 a4 π a cos θ dθ cos 4 θ sen θ dθ k 4 a4 cos5 θ θ π 5 1 ka4 θ y M y D x k π x + y da k k π a cos θ 4 cos θ r 4 k 4 a4 π r 3 cos θ dr dθ a cos θ cos 5 θ dθ dθ k 4 a4 sen θ 3 sen3 θ + sen5 θ θ π 5 θ 15 ka4. Por lo tanto, el centro de masa está ubicado en el punto My x, ȳ M, M x M 15 ka4, 9 ka3 3 5 a, 9 4 a 1 ka4 9 ka3. EJEMPLO.5.3 Determina el centroide de la región infinita ubicada en el segundo cuadrante y comprendida entre los ejes coordenados y la curva y e x. Solución. Sabemos que un centroide la densidad es constante, así que en este ejemplo asumimos que la densidad es fija e igual a δ. Además, es claro que la región D donde vamos a integrar está dada por D {x, y R : x y e x }. 96 Esta versión puede contener errores

107 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].5. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN MÚLTIPLE Luego, la masa de la lámina es M e x δ dy dx lím b δ lím b e x b b e x dx δ lím b 1 e b δ. δ dy dx Ahora calculamos los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados, M y e x x δ dy dx lím b δ lím b e x b b x δ dy dx x e x dx δ lím b be b 1 + e b δ y M x e x y δ dy dx lím b 1 δ lím b e x b b y δ dy dx e x dx 1 4 δ lím b 1 e b 1 4 δ. Por lo tanto, el centro de masa está ubicado en el punto My x, ȳ M, M x M 1 δ δ, 4 δ δ 1, Masa, centro de masa y momentos en R 3 En dimensión N 3, a diferencia de lo realizado en dimensión N, solo daremos las fórmulas. 97 Esta versión puede contener errores

108 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Masa: Fórmulas para la masa y momentos de objetos sólidos en el espacio xyz M D δx, y, z dv. Primeros momentos con respecto a los planos coordenados: M yz x δx, y, z dv, M xz y δx, y, z dv y M xy D Centro de masa: x, ȳ, z x M yz M, D ȳ M xz M y z M xy M. D z δx, y, z dv. OBSERVACIÓN: Si la densidad es constante, el centro de masa se denomina centroide. Momentos de inercia segundos momentos con respecto a los ejes coordenados: I x y + z δx, y, z dv, I y x + z δx, y, z dv e D I z D D x + y δx, y, z dv. Momento de inercia con respecto a una recta L: I L rx, y, z δx, y, z dv, donde rx, y, z es la distancia del punto x, y, z a la recta L. Radio de giro con respecto a una recta L: D R L IL M. Momentos de inercia segundos momentos con respecto a los planos coordenados: I yz x δx, y, z dv, I xz y δx, y, z dv e D I xy D D z δx, y, z dv. Momento de inercia con respecto al origen: I x + y + z δx, y, z dv. D 98 Esta versión puede contener errores

109 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].5. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN MÚLTIPLE EJEMPLO.5.4 Sea a >. Calcula la masa del sólido encerrado por la semiesfera de radio a metros, con base centrada en el origen del plano xy, si la densidad de volumen en cualquier punto del sólido es proporcional a la distancia desde el punto al eje z, medida en kilogramos por metro cúbico. Solución. Notemos que la distancia desde un punto x, y, z R 3 al eje z está dada por dx, y,,,, dx, y,, x + y. Notemos también que la semiesfera con base centrada en el origen y radio a tiene por ecuación a x + y + z a. De esta forma, si denotamos por D a la semibola x + y + z a con z, cuya proyección en el plano xy es el círculo x + y a, nos resulta conveniente introducir el difeomorfismo T r, θ, z r cos θ, r sen θ, z x, y, z que transforma coordenadas cilíndricas a rectangulares, de manera que T D D, donde D es la región limitada por < r a < θ π z a r. Luego, si k es la constante de proporcionalidad, la masa solicitada es: M k π a a r x + y dv k r dz dr dθ D k k π a π 1 16 ka π r a r dr dθ 1 4 ra r π dθ 1 8 ka4 π [kg]. 8 a r a r a4 arc sen r ra dθ a r OBSERVACIÓN.5. Otra forma de resolver el Ejercicio.5.4 es usando el difeomorfismo T ρ, θ, φ ρ cos θ sen φ, ρ sen θ cos φ, ρ cos φ x, y, z que transforma coordenadas esféricas en rectangulares, de manera que T D D, donde D es la región limitada por < ρ a < θ π < φ π. 99 Esta versión puede contener errores

110 CAPÍTULO. LA INTEGRAL DE RIEMANN EN R N [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Luego, si k es la constante de proporcionalidad, la masa solicitada será: M D k π x + y dv k k k a π a π π π a k 4 π π k 4 π π a ρ 4 4 ρ 3 sen φ dφ dρ dθ 1 cosφ ρ 3 dφ dρ dθ ρ 3 φ senφ φ π dρ dθ ρ 3 dρ dθ ρa ρ 1 8 ka4 π [kg]. dθ φ EJEMPLO.5.5 Un sólido homogéneo está limitado superiormente por la superficie ρ a, e inferiormente por el cono φ α, donde < α < π. Calcula el momento de inercia del sólido con respecto al eje z, si la densidad de volumen del sólido en cualquier punto del sólido es k kilogramos por metro cúbico. Solución. De acuerdo a la información del enunciado, la región de integración, que aquí denotamos por D, conviene que sea expresada en coordenadas esféricas. En estas coordenadas, los límites de la región D son: < φ α < θ π < ρ a. Luego, el momento de inercia del sólido con respecto al eje z es I z D kρ sen φ dv k α π a 1 5 ka5 α 5 ka5 π 5 ka5 π π α ρ 4 sen 3 φ dρ dθ dφ sen 3 φ dθ dφ sen 3 φ dφ cos φ + 1 φα 3 cos3 φ φ 15 ka5 πcos 3 α 3 cos α + [kg]. 1 Esta versión puede contener errores

111 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR].5. APLICACIONES DE LA INTEGRACIÓN MÚLTIPLE EJEMPLO.5.6 Calcula el centro de masa de un sólido con densidad constante k acotado por abajo por el plano xy o bien plano z y por arriba por el paraboloide z 4 x y. Solución. Como la proyección del paraboloide z 4 x y sobre el plano xy es el círculo x + y 4, nos conviene describir la región de integración, aquí denotada por D, en coordenadas cilíndricas. En estas coordenadas, los límites de la región D son: < θ π < r z 4 r. Luego, M D π k dv k k π 4 r r dz dr dθ 4 r r dr dθ 1 π r 4 k 4 r dθ 16 4 k 8 kπ π dθ r y M xy D π kz dv k 1 k π 4 r zr dz dr dθ 4 r r dr dθ 1 π k 16 r 4 r k π 3 3 kπ. dθ dθ r Por lo tanto, dado que por simetría se debe tener x y ȳ, y por otro lado, sabemos que concluimos que el centro de masa solicitado es x, ȳ, z z M xy M,,, Esta versión puede contener errores

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113 Parte II Cálculo vectorial 13

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115 Capítulo 3 Curvas en R y en R 3 Una forma de describir la trayectoria de una partícula en el plano R es mediante ecuaciones paramétricas de la forma x xt e y yt, que representan a las coordenadas de posición de la partícula en el plano en el tiempo t. Similarmente, podemos describir la trayectoria de una partícula en el espacio R 3 mediante ecuaciones paramétricas de la forma x xt, y yt y z zt. La trayectoria completa de la partícula representa una curva orientada en el plano o el espacio, según corresponda. En el presente capítulo, vamos a estudiar curvas en el plano y el espacio que dependen de un parámetro, vamos a calcular su longitud de arco y a introducir el concepto de integral de línea, para finalmente establecer el Teorema de Green, que relaciona una integral doble sobre una región del plano con una integral de línea respecto a una curva cerrada que recorre la frontera de tal región Funciones vectoriales DEFINICIÓN Funciones vectoriales Sea I un intervalo en R y para cada i 1,,..., N, sea ψ i : I R una función real. La función r : I R N t rt ψ 1 t, ψ t,..., ψ N t se denomina función vectorial de parámetro t, respecto de las funciones ψ i, i 1,,..., N. OBSERVACIÓN En el caso N, es usual escribir rt xtî + ytĵ xt, yt. En el caso N 3, es usual escribir rt xtî + ytĵ + ztˆk xt, yt, zt. 15

116 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN 3.1. Límite de una función vectorial Sea I un intervalo abierto en R, sea r : I R N una función vectorial y sea L R N un vector. Decimos que L es el límite de rt cuando t tiende a t, lo cual escribimos como si se cumple que lím rt L, t t ε > δ > tal que t I < t t < δ rt L < ε. OBSERVACIÓN 3.1. Si en la definición anterior consideramos N 3, rt xtî + ytĵ + ztˆk y L L 1 î + L ĵ + L 3ˆk, entonces si y solo si lím t t rt L lím t t xt L 1, lím t t yt L y lím t t zt L 3. DEFINICIÓN Continuidad de una función vectorial Sea I un intervalo abierto en R, sea r : I R N una función vectorial y sea t I. Decimos que r es continua en el punto t si lím t t rt rt. Más aún, decimos que la función r es continua en I si lo es en cada punto de I. DEFINICIÓN Derivabilidad de una función vectorial Sea I un intervalo abierto en R, sea r : I R N una función vectorial y sea t I. Decimos que r es derivable en el punto t si en cuyo caso escribimos rt + h rt lím, h h d r dt t rt + h rt lím. h h Más aún, decimos que la función r es derivable si lo es en cada punto de su dominio. OBSERVACIÓN Si en la definición anterior consideramos N 3 y rt xtî + ytĵ + ztˆk, entonces rt es derivable en t si y solo si xt, yt y zt son funciones derivables en t, en cuyo caso se verifica que d r dt t x t î + y t ĵ + z t ˆk. 16 Esta versión puede contener errores

117 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.1. FUNCIONES VECTORIALES DEFINICIÓN Sea N o N 3, sea I un intervalo abierto en R y sea r : I R N una función vectorial que representa la posición de una partícula que se mueve a lo largo de una curva de clase C 1 en el plano si N o en el espacio si N 3, entonces: El vector velocidad de la partícula, en cualquier instante t, es el vector tangente a la curva, esto es, v d r dt. La dirección del movimiento de la partícula, en cualquier instante t, es la dirección de v, esto es ˆv v v. La rapidez de la partícula, en cualquier instante t, es la magnitud del vector v, esto es, v v. El vector de aceleración de la partícula, en cualquier instante t, es la derivada de v cuando esta existe, esto es, a d v dt d r dt. OBSERVACIÓN Notemos que la velocidad de una partícula en movimiento se puede expresar como el producto de su rapidez y dirección, esto es, v v ˆv. TEOREMA Reglas de derivación para funciones vectoriales Sea I un intervalo abierto en R, sean u : I R N y v : I R N dos funciones vectoriales derivables en I, sea C R N un vector constante, sea c R un escalar y sea ψ : I R una función real derivable en I. Entonces se verifican las siguientes propiedades: i Derivada de una función vectorial constante d dt C. ii Derivada de un escalar por una función vectorial d d u c ut c t t I. dt dt iii Derivada de una función escalar por una función vectorial d ψt vt ψ t ut + ψt d v t t I. dt dt 17 Esta versión puede contener errores

118 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda iv Derivada de la adición sustracción de funciones vectoriales d dt ut ± vt d u dt v Derivada del producto punto de funciones vectoriales d dt ut vt d u dt vi Derivada del producto cruz de funciones vectoriales d dt ut vt d u dt d v t ± t t I. dt d v t vt + ut t t I. dt d v t vt + ut t t I. dt vii Regla de la cadena Derivada de la compuesta entre una función vectorial y una función real d d u uψt dt dt ψt ψ t t I. TEOREMA 3.1. Funciones vectoriales de longitud constante Sea I un intervalo abierto en R y sea r : I R N una función vectorial derivable con longitud constante, entonces rt d r t t I. dt OBSERVACIÓN Notemos que si r : I R 3 representa el movimiento de una partícula que se mueve sobre la superficie de una esfera con centro en el origen, entonces el vector posición de cualquier partícula en un instante t posee longitud constante igual al radio de la esfera. Es claro que el vector velocidad d r dt resulta ser tangente a la trayectoria r del movimiento, por lo que, rt d r t t I. dt DEFINICIÓN Integral indefinida de una función vectorial Sea I un intervalo en R y sea r : I R N una función vectorial tal que rt ψ 1 t, ψ t,..., ψ N t, para cada t I, donde ψ i : I R, i 1,,..., N, representa una función real de primitiva Ψ i. Llamamos antiderivada de r con respecto a t a la N-upla Ψ 1 t, Ψ t,..., Ψ N t, y llamamos integral indefinida de r con respecto a t a la expresión rt dt : Ψ 1 t, Ψ t,..., Ψ N t + C donde C R N es arbitrario. Como era esperable, si Ψ es una antiderivada de r, entonces rt dt Ψt + C, donde C es un vector constante arbitrario. 18 Esta versión puede contener errores

119 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 Por ejemplo, si N 3 y rt xtî + ytĵ + ztˆk, y X, Y y Z son, respectivamente, antiderivadas de x, y y z, entonces rt dt xt î + yt ĵ + zt ˆk dt xt dt î + yt dt ĵ + zt dt ˆk Xtî + Y tĵ + Ztˆk + C. Es decir, se verifica que Ψt Xt î + Y t ĵ + Zt ˆk Xt, Y t, Zt es una antiderivada de r. DEFINICIÓN Integral definida de una función vectorial Sea r : [a, b] R N una función vectorial tal que rt ψ 1 t, ψ t,..., ψ N t, para cada t [a, b], donde ψ i : [a, b] R N, i 1,,..., N, representa una función real integrable en [a, b]. Entonces, r es integrable en [a, b] y la integral definida de r en [a, b] está dada por b a rt dt b a b ψ 1 t î 1 + ψ t î ψ N t î N dt a b b ψ 1 t dt î 1 + ψ t dt î ψ N t dt î N. a a 3.. Curvas en R y en R 3 En esta sección reduciremos nuestro estudio a dimensiones y 3 DEFINICIÓN 3..1 Representación paramétrica de una curva Sea N o N 3. Una curva γ en R N es un conjunto dirigido de puntos de R N para los cuales existe una función continua r : [a, b] R N tal que r[a, b] γ. La función continua r se denomina parametrización o trayectoria de la curva γ. El conjunto es dirigido en el sentido que r establece un orden en el cual aparecen los puntos rt γ cuando t varía desde a hasta b. El punto ra se denomina punto inicial de la curva, mientras que el punto rb se denomina punto terminal. 19 Esta versión puede contener errores

120 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN 3.. Sea N o N 3, sea γ una curva en R N y sea r : [a, b] R N una parametrización de γ. Decimos que P R N pertenece a la curva γ si t [a, b] tal que P rt. El conjunto { P R N : t [a, b] tal que P rt} es la traza de la curva γ. γ es una curva cerrada si ra rb. P γ es un punto múltiple si existe más de un valor t ]a, b[ tal que P rt. γ es una curva simple si no tiene puntos múltiples. Es decir, γ es simple si r es inyectiva en ]a, b]. γ es una curva suave si posee una parametrización r C 1 [a, b]; R N, en cuyo caso también decimos que r es suave. t [a, b] es un punto singular de r si t [a, b] es un punto regular de r si d r dt t. d r dt t. γ es una curva regular si admite una parametrización r tal que cada t [a, b] es un punto regular de r, en cuyo caso también decimos que la parametrización r es regular. γ es seccionalmente regular o regular a trozos si admite una parametrización regular, salvo un número finito de puntos singulares. OBSERVACIÓN 3..1 Sea N o N 3. Si γ es una curva de trayectoria r : [a, b] R N, tal que d r dt t, entonces la recta tangente a la curva γ en el punto rt, es la recta que pasa por rt, que es paralela al vector d r dt t. Con el fin de garantizar que una curva regular γ tenga rectas tangentes que varíen continuamente 11 Esta versión puede contener errores

121 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 sobre cada punto de su trayectoria asociada r : [a, b] R N, es necesario que d r dt t t [a, b]. En otras palabras, una curva regular no posee puntas esquinas o cúspides. Una curva seccionalmente regular regular a trozos está formada por un número finito de curvas regulares que se han unido una tras otra por sus extremos el punto terminal de una es el punto inicial de la otra. Las definiciones presentadas son las que se usan en estos apuntes y no siempre coinciden con las definiciones dadas en otros textos. La principal diferencia es acerca del significado de curva regular. En algunos textos, y en nuestro lenguaje, ésta se define como una curva que admite una parametrización regular y suave; mientras que en otros se define como una curva que admite una parametrización simple, regular y suave. De esta forma, al comparar los resultados aquí expuestos, se deben tener en cuenta estas diferencias. EJEMPLO 3..1 Muestra que la recta γ en R 3 que pasa por el punto x, y, z en la dirección del vector v v 1, v, v 3, con v, es una curva simple, suave y no cerrada. Bajo qué condiciones la parametrización encontrada es regular? Solución. Notemos que la recta γ puede ser parametrizada mediante la función vectorial r : R R 3 t rt x, y, z + t v. γ es simple. En efecto, r es inyectiva, pues rt 1 rt x, y, z + t 1 v x, y, z + t v t 1 t. γ es suave. En efecto, r es C 1 R; R 3 pues xt x + t v 1, yt y + t v y zt z + t v 3 representan funciones afines de una variable real, que son cada una de clase C 1 en R y rt xtî + ytĵ + ztˆk t R. γ no es cerrada pues no tiene punto de inicio ni de término. En efecto, r es inyectiva en R, así que rt 1 rt para todo t 1, t R tales que t 1 t, y lím rt lím rt con lím rt +. t t + t ± 111 Esta versión puede contener errores

122 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda La parametrización r de la recta γ es regular, pues d rt dt v t R. Figura 3.1. Parametrización de una recta γ en R 3 que pasa por el punto x, y, z en la dirección del vector v v 1, v, v 3. EJEMPLO 3.. Muestra que la circunferencia de radio a y centro en el origen, y recorrida en sentido antihorario en el plano xy, es simple, suave y cerrada. Bajo qué condiciones la parametrización encontrada es regular? Solución. Notemos que la circunferencia γ puede ser parametrizada mediante la función vectorial r : [, π] R t rt a cos t, a sen t. γ es simple. En efecto, r es inyectiva en [, π[, pues para t 1, t [, π[, uno tiene que rt 1 rt cos t 1 cos t sen t 1 sen t sen t 1 cos t sen t cos t 1 sen t 1 sen t sent 1 t sen t 1 sen t t 1 t. γ es suave. En efecto, r es C 1 [, π]; R pues xt a cos t e yt a sen t representan funciones de una variable real, que son cada una de clase C 1 en [, π] y rt xt, yt t [, π]. 11 Esta versión puede contener errores

123 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 γ es cerrada. En efecto, r rπ a,. La parametrización r de la circunferencia γ es regular pues a > implica que d r dt t a sen t, a cos t t [, π]. Figura 3.. Parametrización de una circunferencia de radio a y centro en el origen en el plano xy. DEFINICIÓN 3..3 Una cicloide en el plano xy describe la trayectoria que sigue un punto P fijo respecto a un círculo de radio R y a distancia a de su centro, cuando tal círculo rueda sobre una línea recta. En particular, la curva de trayectoria r : R R t rt R t a sen t, R a cos t representa una cicloide normal o simplemente cicloide si R a, representa una cicloide acortada si R > a, y representa una cicloide alargada si R < a. EJEMPLO 3..3 Muestra que la cicloide es simple y suave, y que no es cerrada. Para qué valores de t es regular? Solución. Consideremos la cicloide γ cuya parametrización está dada por la función vectorial r : R R t rt at a sen t, a a cos t. γ es simple. En efecto, r es inyectiva, pues para t 1, t R, uno tiene que a a cos t 1 a a cos t cos t 1 cos t t1 + t t1 t sen sen t 1 + t kπ t 1 t kπ, k Z 113 Esta versión puede contener errores

124 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda y at 1 a sen t 1 at a sen t t 1 t sen t 1 sen t t1 + t t1 t t 1 t cos sen kπ si t 1 t kπ, k Z, t 1 t t1 t sen si t 1 + t kπ, k Z, k impar, t t 1 t1 t sen si t 1 + t kπ, k Z, k par. Luego, para t 1, t R se tiene que t 1 t. rt 1 rt t 1 t. γ es suave. En efecto, r es C 1 R; R pues xt at a sen t e yt a a cos t representan funciones de una variable real, que son cada una de clase C 1 en R y rt xt, yt t R. γ no es cerrada pues no tiene punto de inicio ni de término. En efecto, al ser r inyectiva en todo R, entonces rt 1 rt para todo t 1, t R tales que t 1 t y lím xt + lím xt. t + t Veamos ahora para qué valores de t la parametrización r de la cicloide γ es regular. Tenemos, d r dt t a a cos t + a sen t a a cos t a sen t cos t 1 sen t t kπ, k Z. Por lo tanto, la parametrización r de la cicloide es regular para cada t kπ, k Z. 114 Esta versión puede contener errores

125 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 Figura 3.3. Cicloide normal. EJEMPLO 3..4 Muestra que la cicloide acortada es simple y suave, y que no es cerrada. Para qué valores de t es regular? Solución. Consideremos la cicloide acortada γ cuya parametrización está dada por la función vectorial r : R R t rt Rt a sen t, R a cos t, con < a < R. γ es simple. En efecto, r es inyectiva, pues para t 1, t R, uno tiene que y R a cos t 1 R a cos t cos t 1 cos t t1 + t t1 t sen sen t 1 + t kπ t 1 t kπ, k Z Rt 1 a sen t 1 Rt a sen t Rt 1 t a sen t 1 a sen t R a t t1 + t t1 t 1 t cos sen kπ si t 1 t kπ, k Z, R t 1 t t1 t sen si t 1 + t kπ, k Z, k impar, a R t t 1 t1 t sen si t 1 + t kπ, k Z, k par. a t 1 t, pues R a > 1. Luego, para t 1, t R se tiene que rt 1 rt t 1 t. 115 Esta versión puede contener errores

126 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda γ es suave. En efecto, r es C 1 R; R pues xt Rt a sen t e yt R a cos t representan funciones de una variable real, que son cada una de clase C 1 en R y rt xt, yt t R. γ no es cerrada pues no tiene punto de inicio ni de término. En efecto, al ser r inyectiva en todo R, entonces rt 1 rt para todo t 1, t R tales que t 1 t y lím xt + lím xt. t + t Veamos ahora para qué valores de t la parametrización r de la cicloide acortada γ es regular. Tenemos, d r dt t R a cos t a sen t cos t R a > 1 a sen t. Esto último es imposible, pues cos t 1, para toda t R. Por lo tanto la parametrización r de la cicloide acortada es regular en R. Figura 3.4. Cicloide acortada. EJEMPLO 3..5 Muestra que la cicloide alargada es suave, y que no es simple ni cerrada. Para qué valores de t es regular? Solución. Consideremos la cicloide alargada γ cuya parametrización está dada por la función vectorial r : R R t rt Rt a sen t, R a cos t, con < a < R. 116 Esta versión puede contener errores

127 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 γ no es simple. En efecto, r no es inyectiva, pues para t 1, t R, uno tiene que y R a cos t 1 R a cos t cos t 1 cos t t1 + t t1 t sen sen t 1 + t kπ t 1 t kπ, k Z Rt 1 a sen t 1 Rt a sen t Rt 1 t a sen t 1 a sen t R a t t1 + t t1 t 1 t cos sen kπ si t 1 t kπ, k Z, R t 1 t t1 t sen si t 1 + t kπ, k Z, k impar, a R t t 1 t1 t sen si t 1 + t kπ, k Z, k par. a t 1, t R, con t kπ t 1, k Z, < t 1 t < π tales que rt 1 rt, pues R a < 1 γ es suave. En efecto, r es C 1 R; R pues xt Rt a sen t e yt R a cos t representan funciones de una variable real, que son cada una de clase C 1 en R y rt xt, yt t R. γ no es cerrada pues no tiene punto de inicio ni de término. En efecto, al ser r inyectiva en todo R, entonces rt 1 rt para todo t 1, t R tales que t 1 t y lím xt + lím xt. t + t Veamos ahora para qué valores de t la parametrización r de la cicloide alargada γ es regular. Tenemos, d r dt t < cos t R < 1 sen t, a lo que es imposible, pues sen t solo si t kπ, con k Z, y coskπ 1 o coskπ 1. Por lo tanto la parametrización r de la cicloide alargada es regular en R. 117 Esta versión puede contener errores

128 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura 3.5. Cicloide alargada DEFINICIÓN 3..4 Una hélice circular recta en el espacio xyz describe la trayectoria que sigue un punto que asciende o descience a través de la superficie de un cilindro de radio R, con ángulo de elevación o de depresión constante, y cuya distancia que sube o baja el punto al dar una vuelta completa alrededor del cilindro es h. El valor R usualmente es denominado como el radio de la hélice, mientras que el valor h usualmente es denominado como la altura de paso de la hélice. En particular, la curva de trayectoria r : R R 3 t rt R cos t, R sen t, h π t representa una hélice circular recta de radio R, altura de paso h y que pasa por el punto R,,. EJEMPLO 3..6 Considera una hélice circular recta en el espacio xyz de radio R y altura de paso h, que pasa por el punto R,,. Prueba que esta curva es simple y suave, y que no es cerrada. Para qué valores de t es regular? Solución. Denotemos por H R,h a la hélice circular recta de radio R y altura de paso h, que pasa por R,, y cuya trayectoria corresponde al caso particular considerado en la definición previa. H R,h es simple. En efecto, r es inyectiva, pues para t 1, t R, uno tiene que zt h π t, para t R, es inyectiva. H R,h es suave. En efecto, r es C 1 R; R pues xt R cos t, yt R sen t y zt h π t t R representan funciones de una variable real, que son cada una de clase C 1 en R y rt xt, yt, zt t R. γ no es cerrada pues no tiene punto de inicio ni de término. En efecto, al ser r inyectiva en todo R, entonces rt 1 rt para todo t 1, t R tales que t 1 t y lím zt + lím zt. t + t 118 Esta versión puede contener errores

129 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 Veamos ahora para qué valores de t la parametrización r de la hélice circular recta H R,h es regular. Tenemos, d r dt t R + h > t R. π Por lo tanto la hélice circular recta H R,h es regular en R. Figura 3.6. Hélice circular recta en el espacio xyz de radio R y altura de paso h, que pasa por el punto R,,. EJERCICIOS y k b 1. Sean a, b R \ {}. Sea γ la curva de ecuación x h a antihorario. Encuentra una C 1 -parametrización simple y regular para γ. 1 recorrida en sentido. Encuentra una C 1 -parametrización para la curva simple, cerrada y regular que se obtiene al intersectar la esfera centrada en el origen y radio 4, con el plano x + y z. 3. Encuentra una C 1 -parametrización simple y regular para la curva que se obtiene al intersectar las superficies x + y + z 4 y x + y x. 4. Sea γ la curva de trayectoria rt e t cost, e t sent, t R. a Prueba que γ es simple, regular y suave. b Prueba que γ cruza infinitas veces a los ejes coordenados. Para ver las Soluciones de los Ejercicios 3..1 presiona aquí A EJEMPLO 3..7 Encuentra tres parametrizaciones diferentes para la semicircunferencia en el plano xy que tiene centro en el origen, radio a > y se ubica en el primer cuadrante. 119 Esta versión puede contener errores

130 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Solución. Consideremos la ecuación de la circunferencia x + y a para x, y. Poniendo x t e y a t obtenemos que una parametrización de la semicircunferencia es r 1 : [, a] R t r 1 t t, a t. Poniendo x t e y a t obtenemos que una parametrización de la semicircunferencia es r : [ a, ] R t r t t, a t. Usando coordenadas polares x a cos t e y a sen t obtenemos otra parametrización de la semicircunferencia r 3 : [ ], π R t r 3 t a cos t, a sen t. El ejemplo previo trae a colación varias interrogantes. En efecto, notemos que a partir de las parametrizaciones dadas para el cuarto de circunferencia, podríamos intentar completar la circunferencia completa o continuar el trazado de una curva a partir de donde termina el cuarto de circunferencia. Por lo tanto, cabe preguntarse lo siguiente, Podemos extender una curva? Otro asunto que surge es el de la orientación de la curva. Claramente las parametrizaciones r 1 y r tienen orientación invertida el punto inicial de una es el punto terminal de la otra, mientras que r y r 3 tienen la misma orientación coinciden sus puntos inicial y terminal. Por lo tanto, cabe preguntarse Tiene alguna importancia la orientación de una curva? Notemos también r y r 3 tienen la misma orientación y sus trazas son iguales, sin embargo cuando nos acercamos al punto inicial a,, sucede lo siguiente: lím d r dt t lím t 1,, t a a t t a mientras que lím d r 3 t dt t lím a sen t, a cos t a. t 1 Esta versión puede contener errores

131 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 Luego, parece razonable preguntarse En qué sentido podemos decir que dos curvas son equivalentes? Finalmente, nos preguntamos Existe alguna parametrización que podamos considerar como natural para una curva? Trataremos estas preguntas en las siguientes subsecciones Extensión de una curva Dado un conjunto de curvas γ 1, γ,..., γ k tales que el punto terminal de γ i coincide con el punto inicial γ i+1, i 1,..., k 1 escribimos γ k i1 para representar a la curva que resulta de la unión por los extremos correspondientes de las γ i, i 1,..., k. Claramente γ extiende a cada una de las curvas γ i, i 1,..., k y representa la curva obtenida al recorrer en forma correlativa a las curvas γ 1, γ,..., γ k. γ i Figura 3.7. Curva formada por la unión de k curvas unidas por sus puntos terminales e iniciales DEFINICIÓN 3..5 Extensión de una curva Sean a, b, c, d R con a < b y c < d. Sean r 1 : [a, b] R N una C 1 -parametrización de una curva γ 1 simple y regular y sea r : [c, d] R N una C 1 -parametrización de una curva γ simple y regular, tales que verifican r 1 b r c. Llamaremos extensión de las curvas γ 1 y γ a la curva γ 1 + γ cuya trayectoria viene dada por la función vectorial r 1 + r : [a, b + c d] R N definida por { r1 t si t [a, b] t r 1 + r t r t b c si t [b, b + d c]. EJEMPLO 3..8 Considera las curvas γ 1 y γ de trayectorias dadas por r 1 : [ 1, 1] R t r 1 t t, r y : [ 1, 1] R 1 t t r t t, 1 t respectivamente. Determina una fórmula para la extensión γ γ 1 + γ, de γ 1 y γ. 11 Esta versión puede contener errores

132 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Solución. Notemos que γ 1 y γ representan dos semicircunferencias tales que el punto terminal de la primera es el punto inicial de la segunda. Así, γ 1 + γ resulta ser la circunferencia de trayectoria r 1 : [ 1, 3] R { t, 1 t si t [ 1, 1] t r 1 t t, 1 t si t [1, 3]. Figura 3.8. Circunferencia γ obtenida al unir por el extremo común las curvas γ 1 y γ que poseen forma de semicircunferencia Preservación de la orientación de una curva DEFINICIÓN 3..6 Reparametrización Sea N o N 3, sea r 1 : [a, b] R N una parametrización de una curva γ simple y regular, y sea ϕ : [c, d] [a, b] una función biyectiva de clase C 1. Llamamos reparametrización de r 1 a la función compuesta r r 1 ϕ : [c, d] R N. Si ϕ es estrictamente creciente ϕ >, entonces decimos que la reparametrización preserva la orientación; en cambio si ϕ es estrictamente decreciente ϕ <, decimos que la reparametrización invierte la orientación. EJEMPLO 3..9 Sean γ 1, γ y γ 3 las curvas cuyas respectivas trayectorias están dadas por r 1 : [ 1, ] R t r 1 t t, 1 t, r : [, π ] R θ r θ cos θ, sen θ y r 3 : [, 1] R r 3 t t, 1 t. Escribe: i r como una reparametrización de r 1. Preserva la orientación? ii r 3 como una reparametrización de r 1. Preserva la orientación? 1 Esta versión puede contener errores

133 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 Solución. Tenemos i r r 1 ϕ, donde ϕθ cos θ C 1 [, π ], que es creciente y biyectiva en [, π ]; pues ϕ θ sen θ > en [, π ]. Por lo tanto, r es una reparametrización de r 1 que preserva orientación. ii r 3 r 1 ϕ, donde ϕt t C 1 [, 1], que es decreciente y biyectiva, pues ϕ t 1<. Por lo tanto, r 3 es una reparametrización de r 1 que invierte la orientación. Figura 3.9. Trayectorias opuestas de un cuarto de circunferencia. OBSERVACIÓN 3.. Sea N o N 3. Si r : [a, b] R N es una parametrización de la curva γ, y la función ϕ : [ b, a] [a, b] t ϕt t es biyectiva, decreciente y de clase C 1, entonces r : [ b, a] R N t r t r ϕt r t es una parametrización de γ que invierte la orientación Curvas paramétricamente equivalentes DEFINICIÓN 3..7 Curvas paramétricamente equivalentes Sea N o N 3, y sean γ 1 y γ dos curvas simples y regulares de trayectorias r 1 : [a, b] R N y r : [c, d] R N respectivamente. Decimos que r 1 y r son paramétricamente equivalentes si r es una reparametrización de r 1 que preserva la orientación; y decimos que γ es la negativa de γ 1 si r es una reparametrización de r 1 que invierte la orientación, en este caso escribimos γ γ Esta versión puede contener errores

134 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda OBSERVACIÓN 3..3 Recordemos que γ es seccionalmente regular si admite una parametrización seccionalmente regular. Una parametrización suave de una curva γ es una C 1 -parametrización de γ. Un resultado interesante que podemos destacar aquí es el siguiente: TEOREMA 3..1 Sea γ una curva simple, regular y suave. Entonces todas las parametrizaciones simples, regulares y suaves de γ son equivalentes. OBSERVACIÓN 3..4 Si γ es una curva seccionalmente simple, regular y suave, entonces todas las parametrizaciones simples, regulares y suaves de γ resultan equivalentes seccionalmente. En efecto, basta aplicar el teorema a cada sección simple, regular y suave de γ que posea una C 1 -parametrización. DEFINICIÓN 3..8 Sea n N dado. Una hipocicloide de n puntas en el plano xy describe la trayectoria que sigue un punto fijo P sobre una circunferencia generatriz de radio R que rueda sin deslizarse por el interior de otra circunferencia directriz de radio nr, que permanece fija. En particular, la curva de trayectoria r : [, π] R t rt n 1R cos t + R cosn 1t, n 1R sen t R senn 1t representa una hipocicloide de n puntas, cuyo punto de inicio y término es el punto nr,. EJEMPLO 3..1 Muestra que todas las parametrizaciones seccionalmente simples, regulares y suaves de una hipocicloide de cuatro puntas son equivalentes seccionalmente. Solución. Sin pérdida de generalidad podemos considerar la hipocicloide de cuatro puntas cuyo punto inicial y términal es el punto 1,. Esta hipocicloide es la curva de trayectoria r : [, π] R t rt cos 3 t, sen 3 t. Notemos que donde t d r dt t, {, π, π, 3π } representa la preimagen de cada una de las puntas de la hipocicloide. En las puntas, la recta tangente no está bien definida y la rapidez en esos puntos es. Notemos también que r C 1 [, π] 14 Esta versión puede contener errores

135 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 y que la curva γ es seccionalmente simple, regular y suave, así que de acuerdo al Teorema 3.3., todas las parametrizaciones simples, regulares y suaves de γ son equivalentes seccionalmente. Figura 3.1. Hipocicloide de cuatro puntas cuyo punto de inicio y término es el punto 1, Longitud de arco. Parametrización natural Hasta el momento hemos visto que dadas dos curvas cuyas parametrizaciones coinciden en el punto terminal de una e inicial de la otra, es posible definir una nueva curva que las extiende, respondiendo así a una de las preguntas que nos habíamos formulado. También hemos definido lo que entendemos por curvas que preservan la orientación y por curvas paramétricamente equivalentes, respondiendo así a las siguientes dos preguntas que nos habíamos planteado. A continuación nos vamos a centrar en nuestra cuarta pregunta, en orden a encontrar una parametrización que sea, en algún sentido a definir, natural para una curva. Para ello, introducimos previamente el concepto de longitud de arco de una curva. Longitud de arco Sea r : [a, b] R N, con N o N 3, una C 1 parametrización de una curva γ seccionalmente simple, regular y suave. Consideremos la partición P de [a, b] dada por P {a t, t 1, t,..., t n b} recordemos que esto implica que a t t 1 t... t n b, y pongamos y sea t i t i t i 1, i 1,,..., n, P máx 1 i n t i t i 1. Si P n es la poligonal que se obtiene al unir los puntos rt i con rt i+1, i, 1,..., n 1, entonces mientras más pequeño es P, mejor aproximamos la longitud de la curva γ mediante la longitud 15 Esta versión puede contener errores

136 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda de la poligonal P n lp n n rt i rt i 1 i1 n rt i rt i 1 t i1 i t i 1 t i t i 1 n rt i rt i 1 t i t i 1 t i. i1 Luego, considerando P cuando n, obtenemos que la longitud de la curva γ está dada por lp n lγ P b a d r dt t dt. Figura Aproximación del arco de una curva en R 3 mediante una poligonal. DEFINICIÓN 3..9 Longitud de arco de una curva Sea N o N 3 y sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización de una curva γ seccionalmente simple, suave y regular. Entonces la longitud de arco lγ de la curva γ esta dada por la fórmula lγ b a d r dt t dt. OBSERVACIÓN 3..5 Sea N o N 3. La definición de longitud de arco de una curva es correcta pues ella no depende de la C 1 -parametrización seccionalmente simple y regular escogida. En efecto, sean r 1 : [a, b] R N y r : [c, d] R N, dos C 1 -parametrizaciones de una curva γ seccionalmente simple y regular, entonces por el Teorema 3.3. r 1 y r son paramétricamente equivalentes. Luego, existe ϕ : [c, d] [a, b], una C 1 -biyección creciente, tal que: r r 1 ϕ. 16 Esta versión puede contener errores

137 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 d c d r dt t d dt d c dt r 1 ϕt dt d d r 1 ϕt ϕ t c dϕ dt d d r 1 ϕt ϕ t dt ϕc a ϕd b c dϕ ξ ϕt dξ ϕ b t dt d r 1 dξ ξ dξ ϕ t ϕ t pues ϕ >. a EJEMPLO Calcula la longitud de arco de la curva γ de trayectoria rt t, t, 3 t 4, t 1. Solución. Tenemos, d r t 1, 4 t, 3 dt d r dt t 16 t t Figura 3.1. Sustitución trigonométrica para la expresión t Así que conviene realizar una sustitución trigonométrica. Ponemos, tan θ t 5 8 y obtenemos y dt 5 8 sec θ dθ t sec θ Esta versión puede contener errores

138 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Como, 4 t dt sec3 θ dθ 5 5 sec θ tan θ sec θ tan θ sec θ tan θ dθ sec 3 θ dθ + sec θ dθ, u sec θ du sec θ tan θ dθ dv sec θ dθ v tan θ tan θ sec θ 1 se sigue que sec 3 θ dθ 1 1 sec θ tan θ + sec θ dθ sec θ tan θ + ln sec θ + tan θ. Retornando a la variable t, se sigue que 4 t dt 5 t t 5 8 t ln + t. 5 8 Por lo tanto, lγ 4 1 t dt 5 t t ln + ln t t EJEMPLO 3..1 Calcula la longitud de arco de la espiral de la hélice H a,h determinada por la trayectoria rt a cos t, a sen t, h t, t [, π]. π Solución. Tenemos, d r dt t a sen t, a cos t, h π d r dt t a + h. π Luego, lh a,h π π h a + dt π aπ + h π aπ + h. 18 Esta versión puede contener errores

139 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 La respuesta del Ejemplo 3..1 se puede chequear geométricamente tal como se observa en la figura a continuación. Figura La longitud de arco del segmento de Hélice de radio a que completa un giro hasta el paso de altura h es aπ + h. EJEMPLO Calcula la longitud de arco de la cicloide γ determinada por la trayectoria rt Rt R sen t, R R cos t, t [, π]. Solución. Tenemos, d r t R R cos t, R sen t dt d r dt t R 1 cos t + sen t R 1 cos t. Luego, lγ π R π 1 cos t dt R t sen dt t π R cos 8 R. Figura La longitud de arco de la cicloide de trayectoria rt Rt R sen t, R R cos t, t [, π] es 8R. 19 Esta versión puede contener errores

140 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Parametrización natural o en longitud de arco Sea γ una curva seccionalmente simple, regular y suave, y sea r : [a, b] R N, para N o N 3, una C 1 parametrización de γ. Definamos la función: s : [a, b] [, lγ ] t st t a d r dξ ξ dξ. Entonces st es la longitud de la curva de trayectoria rξ, ξ [a, t]. Como s es una C 1 biyección creciente, por el teorema de la función inversa existe s 1 : [, lγ ] [a, b], que además es una C 1 biyección creciente. DEFINICIÓN 3..1 Parametrización natural Sea N o N 3. Con la notación previa se define la trayectoria r : [, lγ ] R N s r s r s 1 s. El valor r s representa un punto sobre la curva γ a una distancia s del extremo r a inicial. r recibe el nombre de parametrización natural o parametrización en longitud de arco de la curva γ. OBSERVACIÓN 3..6 Notemos que r no depende de la C 1 parametrización r considerada. En efecto, supongamos que γ es seccionalmente simple, regular y suave, y que r 1 : [a 1, b 1 ] R N y r : [a, b ] R N, para N o N 3, son dos C 1 -parametrizaciones de γ, entonces ϕ : [a, b ] [a 1, b 1 ] C 1 - biyección creciente tal que r r 1 ϕ. Por otra parte, s 1 : [a 1, b 1 ] [, lγ ] y s : [a, b ] [, lγ ] donde s i t corresponde a la longitud de la trayectoria r : ξ, ξ [a i, t]; i 1, por lo que existen s 1 1 y s 1 que son C 1 -biyecciones crecientes. Si definimos r : [, lγ ] R N s r s r 1 s 1 1 s y r : [, lγ ] R N s r s r s 1 s observamos que r s r 1 ϕ s 1 s r 1 s 1 1 s. Además, notemos que r 1 y r son biyectivas y como r s 1 s es equivalente a r 1 s 1 1 s ; en ambos casos s [, lγ ]. Entonces dado X γ existe un único s [, lγ ] tal que la curva hasta X; γ X tiene longitud ss lγ X s s s d dξ r s 1 ξ dξ d dξ r 1 ϕ s 1 ξ dξ d dξ r 1 s 1 1 ξ dξ. T.F.C y d lineal, continua dξ r 1 ϕ s 1 s s 1 1 s 13 Esta versión puede contener errores

141 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.. CURVAS EN R Y EN R 3 EJEMPLO Considera la cicloide γ dada por la trayectoria rt Rt sen t, 1 cos t, t [, π]. Determina su parametrización natural. Solución. Con la notación previa se define la trayectoria s : [, π] [, lγ ] t st t Luego, despejando t en términos de s st, obtenemos y como 1 s t 4 R cos d r dξ ξ t 1 dξ 4 R cos. arc cos 1 s t s 1 s, 4 R senα sen α cos α 1 cosα sen α, se sigue que r s r s 1 s R arc cos 1 s 4 R R arc cos 1 s 4 R sen arc cos 1 s 4 R 1 1 s 4 R, 1 cos arc cos 1 s 4 R 1 s 4 R, 1 1 s 4 R s [, 8 R]. EJEMPLO Determina la parametrización natural de la hélice H a,h. Solución. Tenemos donde s : [, π] [, lh a,h ] t t st d r dξ ξ dξ t h a + dξ π t πa π + h, rt a cos t, a sen t, h θ π Luego, despejando t en términos de s st, obtenemos πs πa + h t s 1 s, t [, π]. 131 Esta versión puede contener errores

142 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda y así, r s r s 1 s πs πs h s a cos, a sen, πa + h πa + h πa + h s [, lh a,h ]. EJERCICIOS Sean f, g funciones reales de clase C 1 en el intervalo [a, b], y sea γ la curva parametrizada por rt ft, gt R, con t [a, b]. a Encuentra la longitud de arco de γ b Determina una fórmula para el caso en que x x e y fx, a x b. c Calcula la longitud de la curva de ecuación y x, 8 x 7.. Sea f una función de clase C 1, y sea γ la curva de ecuación polar r fθ, con α θ β. Usando el hecho que en coordenadas cartesianas un punto x, y γ se representa en forma polar como r cos θ, r sen θ: a Determina una fórmula para la longitud de arco de γ b Calcula la longitud de la cardiode r 31 + sen θ. 3. Calcula la longitud de arco de la curva de trayectoria rt t î + t ĵ + 1 t ˆk desde el punto,, 1 hasta el punto,,. 4. Calcula la longitud de arco de las siguientes curvas: a x 3t, y 3t, z t 3, desde,, hasta 3, 3, b x e t cos t, y e t sen t, z e t, para t, c x y λx + y, x y 9 8 z, λ >, desde,, hasta a, b, c. 5. Sea γ la curva de trayectoria rt e t cost, e t sent, t [,. Calcula la longitud de arco de γ. Para ver las Soluciones de los Ejercicios 3.. presiona aquí A 3.3. Geometría de curvas Con la finalidad de simplificar escritura y notación, en esta sección restringiremos nuestro estudio a curvas simples, regulares y suaves en vez de curvas seccionalmente simples, regulares y suaves. 13 Esta versión puede contener errores

143 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS Recordemos también que una curva γ simple, regular y suave admite una C 1 -parametrización r : [a, b] R N, con N o N 3, que representa la trayectoria que describe el movimiento de una partícula a lo largo de la curva γ y [a, b] representa el intervalo de tiempo en que se mueve la partícula. Evidentemente, la posición de la partícula en cualquier instante t es rt Preliminares Antes de iniciar el estudio de la geometría de curvas en R N, con N o N 3, conviene estudiar algunas propiedades del producto escalar, el producto cruz y las aplicaciones bilineales. Producto escalar DEFINICIÓN Definición geométrica del producto escalar Sean u y v dos vectores en R N. Se define el producto escalar entre u y v al valor real u, v dado por u, v : u v cos θ, donde θ representa el ángulo formado entre los dos vectores. DEFINICIÓN 3.3. Definición analítica del producto escalar Sean u y v dos vectores en R N. Se define el producto escalar entre u y v al valor real u v dado por u v : N u i v i, i1 donde u u 1, u,..., u N y v v 1, v,..., v N. OBSERVACIÓN Las expresiones u v y u, v coinciden, es decir u, v u v. A partir del producto escalar, se puede obtener la norma euclidiana del vector. En efecto, u u, u 1 u u 1. El producto escalar también es denominado producto punto o producto interno. Recordemos que dos vectores u y v son ortogonales en R N, si se forma un ángulo recto entre ellos, y es usual escribir en este caso que u v. En particular, el siguiente resultado es válido 133 Esta versión puede contener errores

144 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda TEOREMA Sean u y v dos vectores en R N. Entonces u v u v u v. A continuación algunas propiedades del producto escalar. Propiedad Conmutativa Distributiva Asociativa por escalar u v v u u v + w u v + u w α u v α u v u α v Producto cruz DEFINICIÓN Definición geométrica del producto cruz Sean u y v dos vectores en R 3. Se define el producto cruz entre u y v al vector u v dado por u v : u v ˆn sen θ, donde θ representa el ángulo formado entre los dos vectores, donde ˆn es el vector unitario y ortogonal a los vectores u y v cuya dirección está dada por la regla de la mano derecha. DEFINICIÓN Definición analítica del producto cruz Sean u y v dos vectores en R N. Se define el producto cruz entre u y v al vector u v dado por u v : u v 3 u 3 v î + u 3 v 1 u 1 v 3 ĵ + u 1 v u v 1 ˆk, donde u u 1, u, u 3 y v v 1, v, v 3. OBSERVACIÓN 3.3. La definición geométrica y analítica del producto cruz coinciden. El producto cruz suele ser identificado con el uso de la siguiente notación î ĵ ˆk u v u 1 u u 3 u u 3 v v 1 v v 3 v 3 î u 1 u 3 v 1 v 3 ĵ + donde u u 1, u, u 3 y v v 1, v, v 3. u 1 u v 1 v ˆk, Si u y v son dos vectores unitarios y ortogonales entre sí, entonces u v también es un vector unitario. En efecto, u v u v ˆn sen π Esta versión puede contener errores

145 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS u v u v u v 1 El vector normal unitario ˆn al plano que contiene a los vectores u y v está dado por ˆn u v u v. Recordemos que dos vectores u y v son paralelos en R 3, si ambos pertenecen a un mismo plano y no se intersecan, y es usual escribir en este caso que u v. En particular, el siguiente resultado es válido TEOREMA 3.3. Sean u y v dos vectores en R N. Entonces u v u v u v. A continuación algunas propiedades del producto escalar. Propiedad Anticonmutativa Distributiva Asociativa por escalar u v v u u v + w u v + u w α u v α u v u α v El siguiente teorema muestra otras propiedades que verifica el producto cruz TEOREMA Sean u, v y w tres vectores no nulos en R 3. Las siguientes propiedades se cumplen: i Regla de ortogonalidad, a saber u v u u v v. ii Cancelación por ortogonalidad, a saber u u v. iii Regla de expulsión, a saber u v w u w v u v w. iv Identidad de Jacobi, a saber u v w + w u v + v w u. 135 Esta versión puede contener errores

146 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Aplicaciones bilineales DEFINICIÓN Sea N, M N. Decimos que una aplicación B : R M R M R N u, v B u, v es bilineal si u R M B u, es lineal y v R M B, v es lineal. EJEMPLO Se chequea fácilmente que las siguientes aplicaciones son bilineales El producto escalar El producto cruz : R 3 R 3 R u, v u v. : R 3 R 3 R 3 u, v u v. TEOREMA Sea N, M N y sea B : R M R M R N una aplicación bilineal. Entonces, B es diferenciable y satisface DB u, v h, k B u, k + B h, v. COROLARIO Sean N, M N, sea B : R M R M R N una aplicación bilineal y sea I in intervalo abierto en R. Si u : I R N y v : I R N son funciones vectoriales derivables en I, entonces d ds B us, vs B us, d v d u ds s + B s, vs. ds OBSERVACIÓN Si en la Definición consideramos M 3, y ponemos: B u, v u, v u v si N 1, B u, v u v si N 3; entonces, desde el Corolario obtenemos d ut, vt ut, d v dt dt t + d dt ut vt ut d v dt d u dt t, vt d u t + t vt. dt ut d v dt d u t + t vt, dt 136 Esta versión puede contener errores

147 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS Vector tangente DEFINICIÓN Sea N o N 3 y sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización de una curva γ simple, regular y suave en R N. Si v es el vector velocidad asociado a r i.e., v d r dt y v v es su correspondiente rapidez, entonces llamamos vector tangente a la curva en t [a, b] al vector unitario ˆT t vt vt. Figura El vector velocidad es el vector tangente OBSERVACIÓN Sea N o N 3. Si consideramos r r, la parametrización en longitud de arco de γ, entonces r s r s 1 s, donde st corresponde a la longitud de la trayectoria rξ, ξ [, t]. Luego, vs d r s 1 s ds d r s 1 s s 1 s ds d r s 1 s 1 ds s s 1 s Por lo tanto, Notemos que d r s 1 s ds d r s 1 s. ds vs vs 1 y ˆT s vs vs vs. L : R R N t Lt rt + d r dt t t t, es la recta que mejor aproxima a la curva γ en torno al punto rt. 137 Esta versión puede contener errores

148 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Vector normal y curvatura Sea r : [a, b] R N, con N o N 3, una C 1 -parametrización de una curva γ simple, regular y suave. Si rt denota la posición de una partícula, en el plano o en el espacio, en un instante t, entonces vt representa la velocidad de la partícula en el instante t, vt vt su rapidez y at su aceleración. Se sigue que: at d r dt t d v dt t d vt ˆT t dt v t ˆT d ˆT t + vt }{{} dt t. }{{} a ˆT t a ˆNt aceleración tangente aceleración normal OBSERVACIÓN Sea N o N 3. Si una partícula de masa m se mueve sobre una curva γ en R N, la fuerza F que actúa sobre ella en el punto rt γ se relaciona con la aceleración por medio de la segunda ley de Newton: F rt m at. En particular, si no actúa fuerza alguna sobre una partícula, entonces at, vt es constante y la partícula se mueve sobre una recta. Por otro lado, si usamos la parametrización natural de γ, se sigue que vt 1 y ˆT t vt, de donde obtenemos a ˆT s y at d ˆT d v t dt dt t. DEFINICIÓN Sea N o N 3, sea γ una curva simple, regular y suave en R N, y sea r : [, lγ ] R N su parametrización natural, la cual asumimos suave. Llamamos curvatura de γ en el punto rs al valor κs dado por κs d ˆT ds s s [, lγ ]. Además, si κs >, llamamos radio de curvatura en el punto rs al valor Rs dado por Rs 1 κs s [, lγ ], y vector normal unitario en el punto rs al vector ˆN dado por ˆNs Rs d ˆT ds s s [, lγ ]. 138 Esta versión puede contener errores

149 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS OBSERVACIÓN En una primera aproximación, la curva γ se parece a una recta que pasa por un punto rt, en la dirección del vector ˆT t, de manera que al estudiar variaciones de la velocidad es decir, la aceleración observamos que se produce un cambio de magnitud y/o dirección de la velocidad. Intuitivamente la curvatura aparece por efecto de la variación del vector tangente. Mientras más rápida la variación, más cerrada será la curva. Estos conceptos geométricos están relacionados con medidas en el plano o el espacio. Por ello conviene establecer una relación entre ellas en términos de la distancia recorrida; es decir, con la parametrización en longitud de arco. Figura La circunferencia que mejor aproxima a la curva γ en R, en el punto r s, es la circunferencia de radio Rs y centro cs en el plano definido por ˆNs y ˆT s. En el punto de inflexión el vector normal no está definido. DEFINICIÓN Con la notación previa, llamamos centro de curvatura a cs r s+rs ˆNs. Ahora surge una pregunta básica: Cómo podemos obtener la definición de curvatura y vector normal evitando calcular la parametrización natural? Sea r : [a, b] R N, con N o N 3, una C 1 -parametrización de una curva γ simple, regular y suave. Sabemos que a cada t [a, b] le corresponde único s [, lγ ] tal que t s 1 s s es la función longitud de la curva de la trayectoria desde ra hasta rt. Figura Parametrización de una curva 139 Esta versión puede contener errores

150 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Notemos que para r s r s 1 s la parametrización natural, el vector tangente es ˆT s vs vs d r s 1 s ds d r s ds 1 s d r dt t dt ds s d r dt t dt ds s, donde ts t s 1 s. Como dt ds s > es un valor real, entonces Luego, y como d r t ˆT s dt d r dt t ˆT t ˆT s 1 s s [, lγ ]. d ˆT ds s d ds ˆT s 1 s d ˆT dt t dt ds s d ˆT dt t, ds dt t vt d r dt t d r dt t dt ds s d r ds vs ds dt t ds dt t s 1 s ds dt t ds dt t, como se esperaba, pues la rapidez es la variación de la distancia recorrida con respecto al tiempo. 14 Esta versión puede contener errores

151 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS Se sigue que, de donde y y cuando κs >, tenemos d ˆT ds s 1 d ˆT vt dt t, κs κ st d ˆT ds s 1 d ˆT vt dt t Rs 1 κs, ˆNs ˆN st Así, κt : 1 vt d ˆT s Rs ds / 1 d ˆT vt dt t 1 d ˆT vt dt t d ˆT dt t d ˆT. dt t d ˆT dt t 1, Rt : κt, y cuando κt >, ˆNt : d ˆT dt t d ˆT. dt t Ahora nos preguntamos, Por qué ˆN se llama vector normal? Notemos que y como ˆT es un vector unitario, d ˆT s ˆT s, d ˆT ds ds s, ˆT s 1 s [, lγ ], 141 Esta versión puede contener errores

152 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda se sigue que ˆT s, d ˆT ds s s [, lγ ]. Luego, si κs > se sigue que 1 d ˆT s, ˆNs ˆT s, ˆT κs ds s 1 ˆT s, d ˆT κs ds s. Por lo tanto, ˆT s ˆNs s [, lγ ] tal que κs > Torsión y vector Binormal DEFINICIÓN Sea γ una curva simple y regular en el espacio y sea r : [, lγ ] R 3 su parametrización natural, la cual asumimos suave. Llamamos vector binormal al vector ˆBs ˆT s ˆNs s [, lγ ]. Ahora surge una pregunta básica: Cómo podemos obtener la definición de curvatura y vector normal evitando calcular la parametrización natural? Sea r : [a, b] R 3 una parametrización suave de una curva γ simple y regular. Si queremos evitar el cálculo de r s podemos considerar ˆBs ˆB st ˆT st ˆN st ˆT s ˆNs ˆT t ˆNt ˆBt. DEFINICIÓN Sea γ una curva simple y regular, sea r : [a, b] R 3 una C 1 -parametrización de γ y sea t [a, b] fijo. Entonces rt rt ˆBt, rt rt ˆT t y rt rt ˆNt definen respectivamente los planos osculador, normal y rectificante a γ en rt. 14 Esta versión puede contener errores

153 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS Figura Vectores normal, binormal y tangente a una curva. Ahora nos preguntamos, Por qué ˆB se llama vector binormal? Notemos que d ˆB ds s d ˆT ds s ˆNs + ˆT s d ˆN ds s Rs ˆNs ˆNs + ˆT s d ˆN ds s. Recordemos que y que î ĵ ˆk a, b, c c, d, e a b c c d e f, g, h a, b, c c, d, e f g h a b c c d e, y que si en un determinante una fila columna es múltiplo de otra, entonces el determinante es. Luego, d ˆB ds s ˆT s d ˆN ds s y d ˆBs ˆBs, d ˆB ds ds s. Así, Por lo tanto, pues d ˆB ds s ˆT s y d ˆB s ˆNs ds d ˆB s ˆBs. ds ˆT s d ˆB ds s ˆT s ˆT s d ˆN ds s. 143 Esta versión puede contener errores

154 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN Sea γ una curva simple y regular en el espacio y sea r : [, lγ ] R 3 su parametrización natural, la cual asumimos suave. Se define la torsión τ de la curva en el punto r s como d ˆB τs ds s, ˆNs. OBSERVACIÓN Se verifica que d ˆB τ ˆN, ds donde τ se interpreta como la tasa natural a la que el vector binormal persigue al vector normal. TEOREMA La curvatura y la torsión de una curva γ simple y regular en el espacio que admite una parametrización suave, determinan completamente a la curva γ, salvo desplazamientos rígidos Diedro móvil, triedro móvil y fórmulas de Frenet-Serret DEFINICIÓN Diedro móvil Sea γ una curva simple, regular y suave en el plano, y sea r una C 1 -parametrización de γ que es de clase C 3 sobre cada uno de los puntos en γ de curvatura no nula. La base ortonormal positiva { ˆT, ˆN} de R se conoce como diedro de Frenet-Serret o diedro móvil de la curva. Las fórmulas de Frenet-Serret para curvas simples y regulares en el plano son: i d ˆT s κs ˆNs ds ii d ˆN ds s κs ˆT s. DEFINICIÓN Triedro móvil Sea γ una curva simple, regular y suave en el espacio, y sea r una C 1 -parametrización de γ que es de clase C 3 sobre cada uno de los puntos en γ de curvatura no nula. La base ortonormal positiva { ˆT, ˆN, ˆB} de R 3 se conoce como triedro de Frenet-Serret o triedro móvil de la curva. Las fórmulas de Frenet-Serret para curvas simples y regulares en el espacio son: i d ˆT s κs ˆNs ds ii d ˆN ds s τs ˆBs κs ˆT s iii d ˆB s τs ˆNs. ds 144 Esta versión puede contener errores

155 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS OBSERVACIÓN Todas las fórmulas de Frenet-Serret pueden ser deducidas fácilmente. Aquí solo mostramos como deducir la fórmula ii en el caso espacial. Notemos que τs τ st 1 d ˆB vt dt t, ˆNt τt. Luego, d ˆN ds s d ˆBs ˆT s ds d ˆB ds s ˆT s + ˆBs d ˆT ds s τs ˆNs ˆT s + ˆBs κs ˆNs τs ˆBs κs ˆT s. Por otro lado, las fórmulas de Frenet-Serret se pueden represental de forma matricial como ˆT κ ˆT d ˆN κ τ ˆN. ds ˆB τ ˆB TEOREMA Sea γ una curva simple, regular y suave en el espacio, y sea r una C 1 - parametrización de γ que es de clase C 3 sobre cada uno de los puntos en γ de curvatura no nula. Entonces, en cada punto rt γ se verifica que d r dt t d r dt κt t d r dt t 3 d r dt t d r dt τt t d3 r dt 3 t d r dt t d r dt t Los planos osculador, normal y rectificante a γ en rt están dados respectivamente por rt rt d r dt t d r dt t, rt rt d r dt t y rt rt d r dt t d r dt t d r dt t. 145 Esta versión puede contener errores

156 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO 3.3. Considera la hélice circular recta H a,h de radio a y altura del paso h. Encuentra ˆT, ˆN, ˆB, κ, τ, R, v, a, v. Solución. La parametrización usual de la Hélice circular recta de radio a y altura del paso h es r : R R definida por Luego, vt a sen t, a cos t, h π vt vt ˆT t vt vt κt 1 vt a + t rt h πa + h π π a cos t, a sen t, h π t. π a sen t, a cos t, h πa + h π d ˆT dt t π a cos t, a sen t, πa + h at v t ˆT t + vt d ˆT dt t a cos t, a sen t, pues v t Rt 1 κt πa + h π a π a πa + h ˆNt d ˆT dt t d ˆT dt t a cos t, a sen t, a cos t, sen t, ˆBt ˆT t ˆNt π a sen t, a cos t, h cos t, sen t, πa + h π π πa + h î ĵ ˆk a sen t a cos t h π cos t sen t î a sen t cos t ĵ a cos t sen t π h πa + h π sen t î h π cos t ĵ + a sen t ˆk + a cos t ˆk π h h sen t, cos t, a πa + h π π 146 Esta versión puede contener errores

157 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] τt 1 d ˆB t, ˆNt vt dt π π h h cos t, sen t, a cos t, sen t, πa + h πa + h π π πh πa + h GEOMETRÍA DE CURVAS EJEMPLO Considera en R 3 la curva γ definida paramétricamentente por rt t 1î + tĵ + t + 1ˆk t R. Para t 1 determina: a ˆT, ˆN, ˆB, κ, τ, b la ecuación del plano rectificante, c la recta tangente Solución. Como rt t 1, t, t + 1 para cada t R, obtenemos vt d r dt t t,, t vt vt t + 1 ˆT t vt vt 1 t, 1, t t + 1 d ˆT ˆNt dt t d ˆT t dt 1 t 1,, 1 t, 1, t t + 1 t t 1,, 1 t, 1, t t + 1 t t 1,, t t t t 1,, t t t t + 1, t t + 1, 1 t Esta versión puede contener errores

158 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda ˆBt ˆT t ˆNt 1 t + 1 î ĵ ˆk t 1 t 1 t 1 î ĵ t 1 1 t î + t î + t ĵ t ĵ t ˆk ˆk 1 t + 1,, t + 1 t ,, 1 κt 1 vt d ˆT dt t 1 t + 1 t t pues ˆB es un vector constante. τt 1 d ˆB t, ˆNt vt dt Luego, a ˆT 1 1 3, κ , 1 1, ˆN 1 6, 3 3 y τ 1. 6, b El plano rectificante en t 1 es rt r 1 ˆN 1 t R. 1 1, ˆB 1,, 1, 6 Como r 1,, y rt xt, yt, zt para cada t R, el plano rectificante en t 1 viene dado por la ecuación x, y +, z 1,, 1, o equivalentemente x + y + z +. c La recta tangente en t 1 es Lt r 1 + d r dt 1 t + 1 t R. Luego, la recta tangente en t 1 viene dada por Lt,, +,, t + 1 t R, o equivalentemente Lt t, t, t t R. 148 Esta versión puede contener errores

159 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.3. GEOMETRÍA DE CURVAS EJEMPLO Prueba que las únicas curvas con torsión son las curvas contenidas en un plano. Solución. Sea γ una curva simple y regular y sea r una parametrización suave de γ. Asumamos que τ. Notemos que τ d ˆB ds por fórmula de Frenet-Serret ii para curvas en el espacio ˆB es un vector unitario y constante. Luego, ˆB ˆT ˆB ˆT ˆB d r ds d ds ˆB r pues ˆB es un vector constante ˆB r es constante. Luego, la curva γ pertenece a un plano normal a ˆB. Asumamos que γ es una curva contenida en un plano. Entonces, ˆT y ˆN están contenidas en el plano que contiene a la curva. Como ˆB ˆT ˆN es unitario y perpendicular a dicho plano, entonces su dirección es la misma en cualquier punto de la curva. Es decir, d ˆB ds en todos los puntos en que ˆN está definido. Así, desde la fórmula de Frenet-Serret iii para curvas en el espacio, concluimos que τ. EJERCICIOS Sea γ una curva simple y regular y sea r una C 3 -parametrización de γ. a Usando las fórmulas de Frenet-Serret, prueba que d r dt t d r ds 3 dt t dt t κs ˆBs. b Prueba que si γ tiene curvatura, entonces γ es una recta. c Prueba que si la torsión de γ es y su curvatura es constante, entonces γ debe ser una circunferencia. d Prueba que si la torsión y la curvatura de γ son constantes, entonces γ debe ser una hélice circular recta. 149 Esta versión puede contener errores

160 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda. Determina la curvatura κ, el radio de curvatura R y la torsión τ de la curva γ de trayectoria r : R R 3 definida por rt sen t, cos t, t. 3. Encuentra el radio de curvatura de la curva γ de trayectoria r : R R 3 definida por rt lnsen t, lncos t, t. 4. Encuentra la ecuación del plano normal a la curva γ de trayectoria r : R R 3 definida por rt at 3, bt, ct en el punto 8a, 4b, c. 5. Una partícula sigue la trayectoria rt 4t, 3t,, donde t representa el tiempo. a La velocidad, la rapidez y la aceleración de la partícula en cualquier instante t. b La curvatura y la torsión de la partícula en cualquier instante t. c Determina, si es posible, qué curva representa la trayectoria r. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 3.4. Integral de línea de un campo escalar DEFINICIÓN Integral de línea de un campo escalar Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización simple y regular de γ, y sea f : Ω R una función continua. Entonces, se define la integral de línea de f sobre γ como γ f ds b a f rt d r dt t dt. OBSERVACIÓN La integral de línea no depende de la C 1 -parametrización simple y regular escogida. En efecto, sean r i : [a i, b i ] R N, i 1,, dos C 1 -parametrizaciones simples y regulares de γ. Entonces r 1 es equivalente a r ; es decir ϕ : [a, b ] [a 1, b 1 ] C 1 -biyección creciente, tal que r r 1 ϕ. Así, f r t d r a dt t b dt b a b a b a b1 a 1 f f f f r 1 ϕt d r 1 ϕ t dt dt r 1 ϕt d r 1 ϕt ϕ t dϕ dt r 1 ϕt d r 1 ϕt ϕ t dt dϕ r 1 ξ d r 1 dξ ξ dξ. 15 Esta versión puede contener errores

161 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.4. INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR OBSERVACIÓN 3.4. La definición se puede extender a curvas γ seccionalmente regulares, que es cuando existen curvas γ i simples, regulares y suaves, para i 1,,..., k, tales que γ γ 1 +γ +...+γ k. En este caso, obtenemos γ f ds k i1 γ i f ds. NOTACIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización simple y regular de γ, con punto inicial en A ra y punto terminal en B rb y sea f : Ω R una función continua. Una notación alternativa para indicar que queremos calcular la integral de línea de f sobre γ es: γ f ds B A f ds. Si A ra B rb, entonces la curva es cerrada y ponemos f ds en vez de f ds. γ γ EJEMPLO Sea γ la curva en R de ecuación x +y λx, recorrida en sentido antihorario. Calcula x + y ds. γ Solución. Notemos que x + y λx x λ + y λ. Luego, podemos usar la parametrización λ rt cos t + λ, λ sen t t [, π]. Se sigue que y d r dt t λ sen t, λ cos t d r dt t λ t [, π]. t [, π], Así, desde la ecuación x + y λx, obtenemos que fx, y x + y equivale a λ f rt λ cos t + λ t [, π]. 151 Esta versión puede contener errores

162 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Entonces, γ x + y ds λ λ λ λ π cos t + 1 dt π t cos dt π t π t cos dt cos π t tπ t tπ sen sen λ. t tπ dt EJEMPLO 3.4. Sea λ > y sea γ la curva en R 3 de ecuaciones paramétricas x λt, y λ t y z λ 3 t3 para t. Determina el valor de Solución. Ponemos rt Luego, r,,, r1 λ, λ, λ 3, 1, 1, 1 3,, y λ ds. λt, λt, λt3 3 t. d r dt t λ, λt, λt t [, 1] y d r dt t λ 1 + t + t 4 t [, 1]. y Por otro lado, si ponemos fx, y, z λ, entonces f rt t t t [, 1]. Por lo tanto, 1, 1, 1 3 y λ ds λ,, λ λ u t 1 + t + t 4 dt u du u ln u + u λ ln u 3 u 1 donde u t + 1 y du t dt 15 Esta versión puede contener errores

163 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR EJERCICIOS Sean γ la curva de trayectoria rt cos t, sen t, t, con t [, π]. Calcula xyz ds.. Sea a >. Calcula γ γ x y 3 ds, donde γ es el arco de la astroide x 3 + y 3 a Sea a > y b R. Calcula la integral de línea x + y + z ds, donde γ es la parte de la hélice circular recta de trayectoria γ rt a cos tî + a sen tĵ + b tˆk t [, π]. 4. Sea λ >. Calcula donde γ es el arco de la curva determinada por x + y z e y λ x, desde el punto,, hasta el punto λ, λ, λ. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A γ z ds, 3.5. Aplicaciones de la integral de línea de un campo escalar Masa Sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N, con N o N 3, una C 1 -parametrización simple y regular de γ, y sea δ : Ω R una función continua. Si γ representa un alambre, cuerda o varilla si N o resorte si N 3 ideal, y δ la densidad de masa lineal sobre γ, entonces una aproximación de la masa está dada por M n δ rt i rt i rt i 1 i1 n i1 n i1 δ rt i rt i rt i 1 t i t i 1 δ rt i rt i rt i 1 t i t i 1 t i t i 1 t i Esta versión puede contener errores

164 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda De manera análoga a la longitud de arco, se puede demostrar que si δp máx 1 i n {t i t i 1 } n, donde P {t a < t 1 <... < t n b}, entonces la sumatoria 3.1 converge a la integral de línea de δ sobre γ, así que M γ δ ds b a δ rt d r dt t dt. Figura Aproximación de una curva mediante trazos poligonales. DEFINICIÓN Masa Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización simple y regular de γ, y sea δ : Ω R una función continua. Si γ representa un alambre, cuerda o varilla si N o resorte si N 3, y δ la densidad de masa lineal sobre γ, entonces la masa total del alambre, cuerda o varilla si N o resorte si N 3, está dada por M γ δ ds b a δ rt d r dt t dt Centro de masa y momentos en R A continuación introduciremos algunos conceptos tales como momentos estáticos o primeros momentos, centro de masa y momentos de inercia o segundos momentos, para el caso N. Momentos estáticos en R El primer momento en torno a un eje de una partícula en el plano cuya masa es m [kg], corresponde al producto entre la masa m de la partícula y su respectiva distancia r que considera el signo a tal eje. De esta forma, es razonable pensar que si tenemos n partículas, entonces el primer momento 154 Esta versión puede contener errores

165 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR de masa total debe ser la suma de los primeros momentos de masa de cada una de las partículas. Luego, el primer momento total debe ser M eje n r i m i. i1 A partir de este hecho y teniendo en cuenta que la distancia de un punto x, y R al eje x considerando el signo es sgny y sgny y y, podemos establecer que el primer momento respecto al eje x de un trozo de alambre, cuerda o varilla delgada en el plano, representado por una curva simple, regular y suave γ, que posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, está dado por M x y δx, y ds γ Similarmente, podemos establecer que el primer momento respecto al eje y es M y x δx, y ds γ Centro de masa en R Imaginemos por un instante que colocamos masas m 1, m,..., m n sobre respectivos puntos x 1, y 1, x, y,..., x n, y n del plano xy, los cuales pertenecen a un alambre delgado ideal. Representamos esta situación por n bolas de masas m i, i 1,,..., n de plasticina ubicadas en ciertos puntos del alambre los puntos de coordenadas x i, y i. Nos interesa conocer el punto en que el alambre se mantiene en equilibrio. Figura 3.. Centro de masa en un alambre delgado ideal en el plano. Claramente, el punto x, ȳ n 1 i1 m i n x i, y i m i n 1 i1 i1 m i n n x i m i, y i m i i1 i1 155 Esta versión puede contener errores

166 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda representa al punto de equilibrio de las masas o centro de masa del alambre. Notemos que la formulación anterior conduce a n m i x i, y i x, ȳ, i1 que gracias a un principio físico de Newton implica que no hay tendencia a que el alambre gire. Esta idea se puede extender a densidad continua y obtener que el centro de masa de un alambre, cuerda o varilla delgada γ en el plano, que posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, es el punto x, ȳ R de coordenadas x, ȳ My M, M x M Momentos de inercia en R Sabemos que el momento de inercia en torno a un eje de una partícula en el plano cuya masa es m [kg], corresponde al valor r m [kg][m ], donde r es la distancia desde la partícula al eje. De esta forma, es razonable pensar que si tenemos n partículas, entonces el momento de inercia total debe ser la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas. Luego, el momento de inercia total debe ser n I ri m i. i1 A partir de este hecho y teniendo en cuenta que la distancia de un punto x, y R al eje x, o bien recta y, es y y, podemos establecer que el momento de inercia respecto al eje x de un trozo de alambre, cuerda o varilla delgada en el plano, representado por una curva simple, regular y suave γ, que posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, está dado por I x y δx, y ds γ Similarmente, podemos establecer que el momento de inercia respecto al eje y es I y x δx, y ds γ Ahora, teniendo en cuenta que la distancia de un punto x, y R al origen es x + y, también podemos obtener el momento de inercia respecto al origen, el cual corresponde a I x + y δx, y ds γ 156 Esta versión puede contener errores

167 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR Fórmulas para la masa y momentos de un alambre, cuerda o varilla delgada en el plano xy Masa: M γ δ ds b a δ rt d r dt t dt. Momentos estáticos primeros momentos con respecto a los ejes coordenados: M x y δ ds y M y x δ ds. Centro de masa: x, ȳ γ x M y M e ȳ M x M. OBSERVACIÓN: Si la densidad es constante, el centro de masa se denomina centroide. Momentos de inercia segundos momentos con respecto a los ejes coordenados: I x y δ ds e I y x δ ds. Momento de inercia con respecto al origen momento polar: I x + y δ ds. Momento de inercia con respecto a una recta L: I L rx, y δ ds, donde rx, y es la distancia del punto x, y a la recta L. γ γ γ Radio de giro con respecto a una recta L: IL R L M γ γ Centro de masa y momentos en R 3 A continuación extendemos los conceptos de momentos estáticos o primeros momentos, centro de masa y momentos de inercia o segundos momentos, al caso N 3. Momentos estáticos en R 3 El primer momento de masa con respecto a un plano de una partícula en el espacio cuya masa 157 Esta versión puede contener errores

168 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda es m [kg], corresponde al producto entre la masa m de la partícula y su respectiva distancia r que considera el signo a tal plano. De esta forma, es razonable pensar que si tenemos n partículas, entonces el primer momento de masa total debe ser la suma de los primeros momentos de masa de cada una de las partículas. Luego, el primer momento total debe ser M plano n r i m i. i1 A partir de este hecho y teniendo en cuenta que la distancia de un punto x, y, z R 3 al plano x, o bien plano yz, considerando el signo es sgnx x sgnx x x, podemos establecer que el primer momento respecto al plano yz de un trozo de alambre, cuerda o resorte en el espacio, representado por una curva simple, regular y suave γ, que posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, z, está dado por M yz x δx, y, z ds γ Similarmente, podemos establecer que el primer momento respecto al plano y, o bien plano xz es M xz y δx, y, z ds γ y que el primer momento respecto al plano z, o bien plano xy es M xy z δx, y, z ds γ Centro de masa en R 3 La situación es análoga al caso N, de manera que el centro de masa de un alambre, cuerda o resorte delgado γ en el espacio, que posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, z, es el punto x, ȳ, z R 3 de coordenadas x, ȳ, z Myz M, M xz M, M xy M Momentos de inercia en R 3 Sabemos que el momento de inercia en torno a un eje de una partícula en el espacio cuya masa es m [kg], corresponde al valor r m [kg][m ], donde r es la distancia desde la partícula al eje. De esta forma, es razonable pensar que si tenemos n partículas, entonces el momento de inercia total 158 Esta versión puede contener errores

169 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR debe ser la suma de los momentos de inercia de cada una de las partículas. Luego, el momento de inercia total debe ser n I ri m i. i1 A partir de este hecho y teniendo en cuenta que la distancia de un punto x, y, z R 3 al eje x es y + z, podemos establecer que el momento de inercia respecto al eje x de un trozo de alambre, cuerda o resorte en el espacio, representado por una curva simple, regular y suave γ, que posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, z, está dado por I x y + z δx, y, z ds γ Similarmente, podemos establecer que el momento de inercia respecto al eje y es I y x + z δx, y, z ds γ y que el momento de inercia respecto al eje z es I z x + y δx, y, z ds γ Ahora, teniendo en cuenta que la distancia de un punto x, y, z R 3 al origen es x + y + z, también podemos obtener el momento de inercia respecto al origen, el cual corresponde a I x + y + z δx, y, z ds γ Fórmulas para la masa y momentos de un alambre, cuerda o resorte delgado en el espacio xyz Masa: M γ δ ds b a δ rt d r dt t dt. Momentos estáticos primeros momentos con respecto a los planos coordenados: M yz x δ ds, M xz y δ ds y M xy z δ ds. γ γ γ 159 Esta versión puede contener errores

170 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Centro de masa: x, ȳ, z x M yz M, ȳ M xz M y z M xy M. OBSERVACIÓN: Si la densidad es constante, el centro de masa se denomina centroide. Momentos de inercia segundos momentos con respecto a los ejes coordenados: I x y + z δ ds, I y x + z δ ds e I z x + y δ ds. γ Momento de inercia con respecto al origen momento polar: I x + y + z δ ds. Momento de inercia con respecto a una recta L: I L rx, y, z δ ds, donde rx, y, z es la distancia del punto x, y, z a la recta L. Radio de giro con respecto a una recta L: γ γ γ R L IL M EJEMPLO Un alambre enrollado en forma de hélice circular recta o alambre helicoidal posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, z x + y + z medida en [ gr m ]. Si la hélice tiene radio 1 y altura de paso π, cuál es la masa total del trozo de alambre que da una vuelta completa? Solución. La parametrización de la hélice de radio 1 y altura de paso π está dada por r : R R 3, donde t rt cos t, sen t, t t R. Luego, para calcular la masa total del trozo de alambre que da una vuelta completa, consideramos t [, π]. Obtenemos, M γ π π δ ds δ rt d r dt t dt cos t + sen t + t sen t, cos t, 1 dt γ 16 Esta versión puede contener errores

171 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR M Luego, la masa total solicitada es π 3 γ δ ds π 1 + t dt π t + t3 3 π 3 + 4π. 3 ] π [ gr m EJEMPLO 3.5. Un alambre helicoidal o resorte posee una densidad de masa lineal igual a δx, y, z x + y + z medida en [ gr m ]. Si la hélice tiene radio 1 y altura de paso π, cuál es el centro de masa del trozo de alambre que da una vuelta completa? Solución. La parametrización de la hélice de radio 1 y altura de paso π está dada por r : R R 3, donde t rt cos t, sen t, t t R. Luego, para calcular el centro de masa del trozo de alambre que da una vuelta completa, consideramos t [, π]. Notemos que la masa total M ya fue obtenida en el Ejemplo o Calculamos x : x 1 M γ xδ ds 3 π3 + 4π 3 π3 + 4π π π π xtδ rt d r dt t dt 3 cos t1 + t dt π3 + 4π 3 π π π3 + 4π cos t dt + t cos t dt }{{} Ahora, integramos I por partes, u t du t dt dv cos t dt v sen t y nuevamente integrando por partes, } ũ t dṽ sen t dt dũ dt ṽ cos t cos t cos t + sen t + t sen t, cos t, 1 dt } I. I t sen t π I t cos t π π π t sen t dt, cos t dt 4π. 161 Esta versión puede contener errores

172 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Luego, x π. o Ahora calculamos ȳ. ȳ 1 M γ yδ ds 3 π3 + 4π Integrando I por partes, se obtiene u t du t dt dv sen t dt v cos t π sen t dt }{{} cos t } π π + t sen t dt }{{} I I t cos t π }{{} 4π. π + t cos t dt, y nuevamente integrando por partes, } ũ t dṽ cos t dt dũ dt ṽ sen t I 4π + t sen t π π sen t dt. Luego, 3 o Finalmente calculamos z z 1 M γ ȳ zδ ds 3 π3 + 4π 3 π3 + 4π 3π1 + π 3 + 4π. 6π 3 + 4π. π t t 1 + t dt + t4 4 π Por lo tanto, el centro de masa es x, ȳ, z π, π, π1 + π. EJEMPLO Un alambre helicoidal o resorte posee una densidad de masa lineal igual a δ medida en [ gr m ]. Si la hélice tiene radio 1 y altura de paso π, cuál es el centro de masa del trozo de alambre que da una vuelta completa? 16 Esta versión puede contener errores

173 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO ESCALAR Solución. La parametrización de la hélice de radio 1 y altura de paso π está dada por r : R R 3, donde t rt cos t, sen t, t t R. Luego, para calcular la masa y el centro de masa del trozo de alambre que da una vuelta completa, consideramos t [, π]. Tenemos, M γ δ ds π δ d r dt t dt δ π δ π. sen t, cos t, 1 dt de donde se sigue que x 1 δ π γ xδ ds 1 π cos t dt, π y 1 ȳ δ π γ 1 z δ π yδ ds 1 π sen t dt π γ zδ ds 1 π t dt π. π Luego, el centro de masa solicitado es x, ȳ, z,, π. EJERCICIOS Sean a, b R tales que a > b >. Calcula la masa de la curva de ecuaciones paramétricas xt a cos t, yt b sen t t [, π], si su densidad lineal de masa está dada por δx, y y.. Sea a >. Determina el centro de masa del arco de cicloide de trayectoria rt at sen tî + a1 cos tĵ t [, π], si su densidad de masa lineal es constante e igual a Esta versión puede contener errores

174 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda 3. Determina las coordenadas del centroide del triángulo esférico homogéneo: x + y + z a, con x, y y z. 4. Encuentra los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados de la hélice circular recta homogénea γ de trayectoria rt a cos t î + a cos t ĵ + ht π ˆk t [, π]. 5. Calcula el momento polar de inercia, para la curva γ que representa al contorno del cuadrado homogéneo máx{ x, y } a, a >. 6. Calcula la masa de la curva γ de trayectoria rt t, t,, con t [, 1], si su densidad de masa lineal es δx, y, z x cos z. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 3.6. Integral de línea de un campo vectorial DEFINICIÓN Integral de línea de un campo vectorial Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N, una C 1 -parametrización simple y regular de γ y sea F : Ω R N un campo vectorial continuo. Entonces se define la integral de línea de F sobre γ como γ F d r b a F rt d r t dt. dt OBSERVACIÓN Se puede probar que la integral de línea de un campo vectorial sobre una curva no depende de la parametrización simple, regular y suave escogida de la curva. Sin embargo, sí depende de la orientación de tal curva. OBSERVACIÓN 3.6. La definición se puede extender a curvas γ seccionalmente regulares, que es cuando existen γ i, para i 1,,..., k, curvas simples, regulares y suaves tales que γ γ 1 +γ +...+γ k. En este caso, obtenemos F d r γ k i1 γ i F d ri, donde las parametrizaciones r i de las respectivas curvas γ i son suaves. NOTACIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización simple y regular de γ, con punto inicial en A ra y punto terminal en B rb y sea f : Ω R una función continua. 164 Esta versión puede contener errores

175 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.6. INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Notaciones alternativas para indicar que queremos calcular la integral de línea de F sobre γ son: F d r En particular, γ B A F d r o bien F d r γ N Si F : Ω R R es tal que F x, y P x, y, Qx, y, se usa F d r P dx + Q dy. γ γ i1 γ F i dx i. Si F : Ω R 3 R 3 es tal que F x, y P x, y, z, Qx, y, z, Rx, y, z, se usa F d r P dx + Q dy + R dz. γ Si A ra B rb, entonces la curva es cerrada y ponemos F d r en vez de F d r. γ γ γ EJEMPLO Sea γ la curva de trayectoria rt cos 3 t, sen 3 t, t, t [, 7π de línea sen z dx + x dy xy 3 dz. Solución. Notemos que, F x, y, z sen z, x 1 3, xy 1 3, de donde Además, Luego, 7π sen z dx + x dy xy 3 dz γ γ F rt sen t, cos t, cos t sen t. d r dt t 3 cos t sen t, 3 sen t cos t, 1. 7π 7π 7π F rt d r t dt dt ]. Evalúa la integral sen t, cos t, cos t sen t 3 cos t sen t, 3 sen t cos t, 1 dt 3 cos t sen t + 3 sen t cos t cos t sen t dt cos t sen t dt 7π 1 sen t Esta versión puede contener errores

176 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJERCICIOS Calcula la integral de línea γ F d r si F x, y, z xî + y î + xz yˆk y γ es la curva de trayectoria rt t î + t ĵ + 4t ˆk que une el punto,, con el punto 1,, 4.. Calcula la integral de línea γ xy dx + x y dy si γ es el arco parabólico x y desde el punto, hasta el punto 1, 1, usando a x como parámetro, b la parametrización rt cos t, cost + 1, t [ π, 3π 4 3. Calcula la integral γ 1 dx + dy x + y donde γ es el contorno del cuadrado de vértices A 1,, B, 1, C 1, y D, 1 recorrido en sentido antihorario. 4. Calcula la integral de línea del campo vectorial F x, y, z y z, z x, x y sobre la curva γ que es el contorno del trozo de la esfera x + y + z 1, x, y y z, recorrido de modo que la cara exterior del trozo de la esfera queda a la izquierda. 5. Evalúa x + y dx + y + z dy + z + x dz γ sobre la curva cerrada γ que resulta de la unión entre la curvas γ 1 : x + z 1, x 1, y ; γ : x + y 1, y 1, z ; y γ 3 : y + z 1, y, z, x ; recorrida de modo tal que la parte exterior de la superficie continua y acotada por esta curva queda a la izquierda de un observador sobre el plano xy que está a gran distancia del origen. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A ] Aplicaciones de la integral de línea de un campo vectorial Trabajo Supongamos que una partícula se mueve a lo largo de la imagen de una trayectoria r, que es una C 1 -parametrización de una curva γ simple y regular, mientras actúa sobre ella una fuerza F. 166 Esta versión puede contener errores

177 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Un concepto fundamental es el trabajo realizado por F sobre la partícula conforme ella traza la trayectoria r. Si r es un desplazamiento en línea recta dado por el vector d, y F es una fuerza constante, entonces el trabajo W realizado por F al mover la partícula a lo largo de la trayectoria es F d que es igual a la fuerza por el desplazamiento en la dirección de la recta. Luego, el trabajo W realizado por un campo vectorial de fuerzas F sobre una curva γ de trayectoria r se puede aproximar por W n F rt i rt i rt i 1 i1 n i1 n i1 F rt i rt i rt i 1 t i t i 1 t i t i 1 F rt i rt i rt i 1 t i t i 1 t i. De manera análoga a la longitud de arco, se puede demostrar que si δp máx 1 i n {t i t i 1 } n, con P {t a < t 1 <... < t n b}, entonces la sumatoria 3. converge a la siguiente integral de línea W b a F rt d r t dt dt 3. Figura 3.1. Campo vectorial de fuerzas actuando sobre una curva DEFINICIÓN Trabajo Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización simple y regular de γ y sea F : Ω R N un campo vectorial continuo. Si γ representa un alambre, cuerda o varilla si N o resorte si N 3, y F representa un campo de fuerzas continuo sobre γ, entonces el trabajo realizado por F sobre el alambre, cuerda o varilla si N o resorte si N 3 está dado por W γ F d r b a F rt d r t dt. dt 167 Esta versión puede contener errores

178 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO Calcula el trabajo del campo F : R R, F x, y 3 x + 4 y, x + 3 y sobre la circunferencia γ de ecuación x + y 1 recorrida una vez en sentido antihorario respecto de la parte positiva del eje x. Solución. Para la circunferencia γ de ecuación x +y 1 recorrida una vez en sentido antihorario consideramos la parametrización simple, regular y suave r : [, π] R definida por t rt cos t, sen t. Luego, W γ π π π F d r F rt d r t dt dt 3 cos t + 4 sen t, cos t + 3 sen t sen t, cos t dt 3 cos t sen t 4 sen t + cos t + 3 sen t cos t dt t + sen 3 t + 3 cos t π + 3 cos t sen t π. EJEMPLO 3.7. Considera el campo de fuerzas F : R 3 R 3 dado por F x, y, z x, y, z y la curva γ de trayectoria rt cos t, sen t,, t [, π ]. Calcula el trabajo de F sobre γ. Solución. El trabajo es W γ π π. F d r F rt d r t dt dt cos t, sen t, sen t, cos t, dt EJEMPLO Considera el campo de fuerzas F : R 3 R 3 dado por F x, y, z x, y, z y sean γ 1 y γ las curvas de trayectorias r 1 t cos t, sen t, t, t [, π], y r t 1,, t, t [, π], respectivamente. Calcula el trabajo W 1 de F sobre γ 1 y el trabajo W de F sobre γ. 168 Esta versión puede contener errores

179 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.7. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE LÍNEA DE UN CAMPO VECTORIAL Solución. Tenemos, y W 1 F d r1 γ 1 π π π π F r 1 t d r 1 t dt dt cos t, sen t, t sen t, cos t, 1 dt cos t sen t cos t sen t t dt W F d r γ π π π F r t d r t dt dt 1,, t,, 1 dt t dt π. Sobre los ejemplos anteriores haremos algunas apreciaciones. En el Ejemplo y en el Ejemplo 3.7. hemos calculado el trabajo sobre curvas cerradas. En el Ejemplo el trabajo fue distinto de cero, mientras que en el Ejemplo 3.7. el trabajo fue cero. Entonces, surge la siguiente pregunta Si la curva es cerrada Bajo qué condiciones podemos asegurar que el trabajo es igual a? En el Ejemplo hemos calculado el trabajo sobre curvas cerradas diferentes que tienen los mismos puntos inicial y terminal, obteniendo que el trabajo es el mismo. Entonces, surge la siguiente pregunta Si las curvas γ 1 y γ tienen el mismo punto inicial y también el mismo punto terminal Bajo qué condiciones podemos asegurar que la integral de trabajo sobre γ 1 es igual a la integral de trabajo sobre γ? Más adelante daremos condiciones precisas sobre el campo vectorial y su dominio que permitirán responder apropiadamente a nuestras interrogantes. 169 Esta versión puede contener errores

180 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Flujo y circulación DEFINICIÓN 3.7. Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto en R N, sea γ una curva simple, regular y suave en Ω, sea r : [a, b] R N una C 1 -parametrización simple y regular de γ y sea F : Ω R N un campo vectorial que representa un continuo de velocidades. El flujo a lo largo de la curva γ desde A ra hasta B rb está dado por γ F d r b a F rt d r t dt. dt Si la curva γ es cerrada, entonces el flujo se denomina circulación a lo largo de la curva. EJEMPLO Sea H 1,π la hélice circular recta de radio 1 y altura de paso π y sea F x, y, z x, y, z un campo continuo de velocidades. Calcula el flujo de F a lo largo del trozo de la hélice H 1,π que comienza en, 1, y finaliza en, 1, π. Solución. La parametrización de la hélice de radio 1 y altura de paso π que nos sirve está dada por r : R R 3, donde t rt sen t, cos t, t t R, puesto que ésta pasa primero por el punto, 1, y luego por el punto, 1, π. Luego, el flujo de F a lo largo del trozo de la hélice H 1,π que comienza en, 1, y finaliza en, 1, π viene dado por γ F d r π π π F rt d r t dt dt sen t, cos t, t cos t, sen t, 1 dt t dt π. EJEMPLO Calcula la circulación del campo vectorial F x, y x y î + x ĵ a lo largo de la circunferencia unitaria recorrida una vez en sentido antihorario. Solución. Sea γ la circunferencia unitaria recorrida en sentido antihorario y consideremos su parametrización r : [, π] R dada por t rt cos t, sen t. Entonces, F rt cos t sen t, cos t t [, π], 17 Esta versión puede contener errores

181 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA y se sigue que el flujo de circulación viene dado por π F d r F rt d r t dt dt γ π π π. cos t sen t, cos t sen t, cos t dt 1 sen t cos t dt EJERCICIOS Calcula el trabajo del campo de fuerzas F x, y x xy, y xy sobre la parábola y x, con x [ 1, 1], recorrida en el sentido del crecimiento de x.. Calcula el trabajo del campo de fuerzas F x, y, z y z, yz, y x sobre la curva de trayectoria rt t, t, t 3, con t 1, recorrida en el sentido del crecimiento del parámetro. 3. Considera el campo de velocidades F x, y, z y z, z x, x y, con x, y, z R 3, y sea γ la circunferencia determinada por la esfera x + y + z a, y el plano y x tan α, para alguna α ], π[, recorrida en sentido antihorario respecto de la parte positiva del eje x. Calcula la circulación de F a través de γ. 4. Calcula el flujo del campo de velocidades F x, y, z y x î + z y ĵ + x z ˆk, con x, y, z R 3, a lo largo de la curva γ de trayectoria rt t î + t ĵ + t 3 ˆk, con t, recorrida desde,, hasta 1, 1, Calcula el flujo del campo de velocidades F x, y, z y î + z ĵ + x ˆk a lo largo de la curva γ que se genera de la intersección entre las superficies en R 3, S 1 : x + y + z a y S : x + y ax, z ; recorrida en sentido antihorario cuando es vista desde el eje x en dirección positiva. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 3.8. Campos conservativos e independencia de la trayectoria En esta sección vamos a responder a las preguntas planteadas en la subsección previa, introduciendo, cuando sea oportuno, algunos conceptos que nos serán de utilidad. La pregunta específica que queremos responder aquí es la siguiente: Bajo qué condiciones la integral de línea de un campo vectorial es independiente de la trayectoria sobre la cual se integra, y dependiente solo de sus puntos inicial y terminal? 171 Esta versión puede contener errores

182 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda El gradiente y sus propiedades DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R N y sea f : Ω R un campo escalar en Ω. Si x Ω es tal que para cada i 1,,..., N existen f x i x, entonces llamamos gradiente de f en x al vector f x f x 1 x, f x x,..., f x. x N Si para cada x Ω existe f x, entonces llamamos gradiente de f en Ω al campo vectorial f : Ω R N definido por x f x f x, f f x,..., x. x 1 x x N DEFINICIÓN 3.8. Sea Ω un conjunto abierto en R N, sea F {f : Ω R : f es un campo escalar en Ω : f en Ω} y sea F { F : Ω R N : F es un campo vectorial en Ω}. Se define el operador gradiente en F, como el operador diferencial : F F definido por f f N i1 e i f x i N i1 f x i e i. NOTACIÓN Sea Ω un abierto en R N y sea f : Ω R un campo escalar tal que en cada punto x Ω existe f x i x. i En el caso N, poniendo x x, y, el operador gradiente se expresa como x, y x î + y ĵ y el gradiente de f en x, y, como fx, y f f x, y î + x, y ĵ x y f f x, y, x, y. x y ii En el caso N 3, poniendo x x, y, z, el operador gradiente se expresa como x, y, z x î + y ĵ + z ˆk 17 Esta versión puede contener errores

183 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA y el gradiente de f en x, y, z, como fx, y, z f f x, y, z î + x y f f x, y, z, x y f x, y, z ĵ + x, y, z ˆk z f x, y, z, x, y, z z. TEOREMA Propiedades del gradiente de un campo escalar Sea Ω un conjunto abierto en R N, sean f : Ω R y g : Ω R dos campos escalares que admiten gradiente en Ω, y sean α y β dos números reales. Entonces se verifica que, i α f + β g α f + β g ii f g f g + f g. TEOREMA 3.8. Otras propiedades del gradiente Sea Ω un conjunto abierto en R N. i Sea u : Ω R un campo escalar que admite gradiente en Ω, sea I un conjunto abierto en R tal que Recu I, y sea h : I R una función real derivable en I, entonces hu h u u. ii Para cada i 1,,..., M, sean u i : Ω R campos escalares que admiten gradiente en Ω, sea Λ un conjunto abierto en R M tal que Recu 1 Recu... Recu M Λ y sea f : Λ R un campo escalar derivable en Λ, entonces si ponemos u u 1, u,..., u M, se verifica que f u M i1 f u i u i. iii Sea f : Ω R N R un campo escalar que admite gradiente en Ω, sea I un conjunto abierto en R y sea r : I R N una función vectorial derivable en I, tal que tal que Rec r Ω; entonces d d r f r u r dt dt. Interpretación geométrica del gradiente Daremos la otivación solo en el caso N. Sea Ω un conjunto abierto en R, sea f : Ω R un campo escalar de clase C 1 en Ω, y sea x, y un punto que pertenece al conjunto de nivel C λ { x R N : fx λ } tal que fx, y,. Si γ es una curva de nivel que contiene al punto x, y y r : I R R 173 Esta versión puede contener errores

184 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda es una C 1 parametrización de γ tal que para cierto punto t inti se verifica que rt x, y, con d r dt t,, entonces f rt λ t I y En particular, obtenemos f rt d r dt t t inti. f rt d r dt t que implica que el vector f rt fx, y resulta perpendicular a las curvas que contienen al punto x, y. Una ecuación de recta que contiene al punto x, y y que es paralela al vector fx, y es llamada recta normal a la curva de nivel λ en el punto x, y. La ecuación de esta recta es x, y x, y + t fx, y t R. Por otro lado, fx, y también sirve para determinar la dirección de máximo crecimiento de f en el punto x, y cuando fx, y,. En efecto, dado un vector unitario u, v, la variación de f en la dirección de u, v es como la derivada de fx, y + tu, v que es: dfx, y[u, v] fx, y, u, v, 3.3 la cuál tiene valor máximo cuando el vector u, v es paralelo a fx, y, es decir cuando u, v Luego, el valor máximo en 3.3 es exactamente fx, y fx, y. dfx, y[u, v] fx, y. La siguiente proposición valida las ideas previas para N y N 3. TEOREMA Sea Ω un conjunto abierto en R N, sea a Ω, y sea f : Ω R un campo escalar que admite gradiente en a tal que f a. Entonces se verifica que, i La dirección de máximo crecimiento de f es f a, y su valor es f a ; mientras que la dirección de mínimo crecimiento de f es f a, y su valor es f a. ii La derivada de f en la dirección u se anula en a si y solo la dirección v es perpendicular a f a. EJEMPLO Sea f : R R el campo escalar definido por fx, y x + y. Determina un vector ortogonal a una curva nivel que pase por el punto 1, 3, y encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a tal curva en el punto 1, Esta versión puede contener errores

185 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Solución. Como f1, 3 5, la curva de nivel que nos interesa es la elipse de ecuación x + y 5. Ahora, como fx, y 4x, y, obtenemos que un vector ortogonal a la curva de nivel en 1, 3 es f1, 3 4, 3. Se sigue que la ecuación de la recta tangente a la elipse en el punto 1, 3 está dada por la relación x 1, y 3 4, 3 que equivale a la recta de ecuación x + 3y 5. Por último, la ecuación de la recta normal a la elipse en el punto 1, 3 es: que equivale a la recta de ecuación x, y 1, 3 + λ4, 3 x 1 4 y 3 3. EJEMPLO 3.8. Considera una superficie en R 3 de ecuación xyz + x 3 + y 3 + z 3 3z. Determina las ecuaciones del plano tangente y de la recta normal a la superficie S en el punto 1, 1,. Solución. Podemos considerar el campo escalar f : R R definido por x, y, z fx, y, z xyz + x 3 + y 3 + z 3 3z. De esta forma, la superficie de nivel de f es precisamente la superficie de ecuación xyz + x 3 + y 3 + z 3 3z en el punto 1, 1,, pues se verifica que f1, 1,. Ahora, como fx, y, z yz + 3x, xz + 3y, xy + 3z 3, obtenemos que un vector ortogonal a la superficie de nivel en 1, 1, es f1, 1, 1, 5, 8. Se sigue que la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto 1, 1, está dada por la relación x 1, y + 1, z 1, 5, 8 que equivale al plano de ecuación x 1 + 5y z. 175 Esta versión puede contener errores

186 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO El calor fluye desde regiones que poseen una mayor temperatura a regiones con una menor temperatura a una velocidad J proporcional al gradiente de temperaturas: Jx, y, z κ T x, y, z, donde la constante κ > es la constante de conductividad térmica propia del medio conductor. Por lo tanto, el flujo de calor sigue localmente la dirección de máximo descenso de la temperatura y es perpendicular a la correspondiente superficie de nivel, usualmente denominada isoterma Función potencial. Campos conservativos DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R N. Decimos que un campo vectorial continuo F : Ω R N es un campo vectorial gradiente o campo conservativo si existe un campo escalar f : Ω R de clase C 1 tal que F f en Ω. El campo escalar f recibe el nombre de función potencial de F. EJEMPLO Prueba que el campo vectorial F : R R definido por F x, y x + y, xy es un campo conservativo determinando explícitamente su función potencial. Solución. Deseamos construir un campo escalar f : R R de clase C 1 tal que Observemos ahora que f x, y x + y y x f x, y xy. y f x x, y x + y fx, y x + xy + ϕ 1 y y f y x, y xy fx, y xy + ϕ x para ciertas funciones ϕ i C 1 R. Finalmente, considerando fx, y, z x + xy x, y R, obtenemos que F f, y por lo tanto F es conservativo y f es su función potencial. EJEMPLO Muestra que todo campo constante es conservativo. En particular, muestra que un campo vectorial F : R 3 R 3 definido por x, y, z F x, y, z a, b, c, donde a, b, c R 3 es fijo, admite una función potencial. 176 Esta versión puede contener errores

187 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Solución. Deseamos construir un campo escalar f : R 3 R de clase C 1 tal que f f x, y, z a, x y x, y, z b y f x, y, z c. z Observemos ahora que f x x, y, z a fx, y, z a x + ϕ 1y, z, y f y x, y, z b fx, y, z b y + ϕ x, z f z x, y, z c fx, y, z c z + ϕ 3x, y, para ciertas funciones ϕ i C 1 R. Finalmente, considerando fx, y, z a x + b y + c z x, y, z R 3, obtenemos que F f, y por lo tanto F es conservativo y f es su función potencial. EJEMPLO Muestra que todo campo radial es conservativo. En particular, muestra que un campo vectorial F : ], [ ], π] ], π] R 3 definido por ρ, θ, φ F ρ, θ, φ ψρ ρ ˆρ, donde ψ : R R es una función continua en R, es un campo vectorial conservativo. Solución. Recordemos que las coordenadas esféricas están dadas por vρ, θ, φ ρ cos θ sen φ, ρ sen θ sen φ, ρ cos φ ρ, θ, φ ], [ ], π] ], π], y que ˆρ cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos θ cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos θ cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos θ, de donde vρ, θ, φ ρ ˆρ. Ahora, considerando x, y, z vρ, θ, φ, obtenemos x + y + z ρ y por lo tanto F x, y, z ψx + y + z x, y, z x, y, z R 3. De esta forma, deseamos construir un campo escalar f : R 3 R de clase C 1 tal que f x x, y, z ψx + y + z x, f y x, y, z ψx + y + z y 177 Esta versión puede contener errores

188 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda y Notemos que Ψ : R R definida por verifica Luego, f z x, y, z ψx + y + z z. t Ψt 1 t Ψ t 1 ψt. ψs ds, f x x, y, z ψx + y + z x fx, y, z Ψx + y + z + ϕ 1 y, z, f y x, y, z ψx + y + z y fx, y, z Ψx + y + z + ϕ x, z y f z x, y, z ψx + y + z z fx, y, z Ψx + y + z + ϕ 3 x, y, para ciertas funciones ϕ i C 1 R. Finalmente, considerando fx, y, z Ψx + y + z x, y, z R 3, obtenemos que F f, y por lo tanto F es conservativo. EJEMPLO Es F x, y, z 1 1 y + y z, x z + x, xy un campo conservativo sobre su dominio? y z Solución. Notemos que Dom F {x, y, z R 3 : y z }. Deseamos construir un campo escalar f : Dom F R de clase C 1 tal que f x x, y, z 1 1 y + y z, Observemos ahora que f x x, y, z 1 1 y + y z f y x, y, z x z + x y y f x, y, z xy z z. fx, y, z x x y + xy z + ϕ 1y, z, f y x, y, z x z + x y fx, y, z xy z x y + ϕ x, z y f x, y, z xy z z fx, y, z xy z + ϕ 3x, y, para ciertas funciones ϕ i C 1 D i, donde D 1 {y, z R : y z }, D {x, z R : z } y D 3 {x, y R : y }. Finalmente, considerando fx, y, z x x y + xy z obtenemos que F f es conservativo en su dominio. x, y, z R 3 tal que y y z, 178 Esta versión puede contener errores

189 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA Conjuntos conexos y convexos Conjuntos conexos DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto en R N. Decimos que Ω es disconexo si existen conjuntos A y B en R N tales que A, B, A B Ω, y A B A B. Si Ω no es disconexo, decimos que Ω es conexo. DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto en R N. Decimos que Ω es arco-conexo si para cada par de puntos A, B Ω existe una función continua r : [a, b] Ω tal que ra A y rb B. TEOREMA Caracterización de los conjuntos abiertos conexos en R N Sea Ω un conjunto abierto en R N. Entonces, Ω es conexo si y solo si Ω es arco-conexo. Figura 3.. Conjuntos conexos y disconexos no conexos en R N. Conjuntos convexos DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto en R N. Decimos que Ω es convexo si dados dos puntos cualesquiera de Ω, el segmento de recta que los une queda totalmente contenido en Ω; es decir, si x, y Ω la combinación convexa 1 λ x + λ y Ω λ [, 1]. El siguiente resultado es evidente. PROPOSICIÓN Todo conjunto convexo en R N es conexo en R N. 179 Esta versión puede contener errores

190 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura 3.3. Conjuntos convexos y no convexos en R N. Es claro que si Ω es convexo entonces también es conexo. Sin embargo, el recíproco no es siempre cierto. Conjuntos simplemente conexos y múltiplemente conexos en R DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto y conexo en R. Decimos que Ω es simplemente conexo si para cada curva γ simple, cerrada y regular en Ω, la región acotada encerrada por la curva γ queda totalmente contenida en Ω. En caso contrario, decimos que Ω es múltiplemente conexo. El siguiente resultado permite ilustrar la definición previa. PROPOSICIÓN 3.8. Todo conjunto convexo en R es simplemente conexo en R. Figura 3.4. Conjuntos simplemente conexos y múltiplemente conexos en R. Un conjunto múltiplemente conexo en R posee agujeros los cuales también pueden ser solo un punto o una línea. 18 Esta versión puede contener errores

191 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA El rotor y sus propiedades DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R 3 y sea F : Ω R 3 un campo vectorial en Ω. Si F F 1, F, F 3 y para x x 1, x, x 3 Ω existen F i x j x para cada i, j 1,, 3, i j, entonces llamamos rotor de F en x al vector rot F F3 x x F x, F 1 x F 3 x, F x F 1 x. x x 3 x 3 x 1 x 1 x Si para cada x Ω existe rot F x, entonces llamamos rotor de F en Ω al campo vectorial rotf : Ω R 3 definido por x rot F F3 x x F x, F 1 x F 3 x, F x F 1 x. x x 3 x 3 x 1 x 1 x DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R 3, sea y sea G { F : Ω R 3 : F es un campo vectorial en Ω : rot F en Ω} F { F : Ω R 3 : F es un campo vectorial en Ω}. Se define el operador rotor en G, como el operador diferencial rot : G F definido por F rot F F3 F F1 ı + F 3 F j + F 1 k. x x 3 x 3 x 1 x 1 x NOTACIÓN 3.8. Sea Ω un abierto en R 3 y sea F : Ω R 3 un campo vectorial tal que F P, Q, R y existen P y, P z, Q x, Q z, R x, R y en Ω. Entonces, podemos poner rot F F x, y, P, Q, R z î ĵ ˆk x y z P Q R R y Q P ı + z z R Q j + x x P k. y y el rotor de F en x, y, z Ω, como rot F x, y, z F x, y, z R y Q P x, y, z x, y, z, z z x, y, z R x Q P x, y, z, x, y, z x, y, z. x y 181 Esta versión puede contener errores

192 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R 3 y sea F : Ω R 3 un campo vectorial en Ω tal que existe rot F. Si rot F,, en Ω, entonces decimos que F es irrotacional sobre Ω. TEOREMA Propiedades del rotor de un campo escalar Sea Ω un conjunto abierto en R N, sean F : Ω R y G : Ω R dos campos vectoriales que admiten rotor en Ω, sean α y β dos números reales y sea f : Ω R 3 un campo escalar que admite gradiente en Ω. Entonces se verifica que, i rotα F + β G α rotf + β rotg ii rotf F f rot F + f F iii Si f admite rotor en Ω, entonces rot f,, en Ω. Interpretación del rotor OBSERVACIÓN Si un campo F representa el flujo de ciertas partículas de un fluido, entonces el hecho que rot F físicamente significa que las partículas del fluido no rotan son irrotacionales, es decir, el fluido puede sufrir traslaciones y distorsiones, pero no posee remolinos. Informalmente, esto significa que si colocamos en el fluido una pequeña rueda con aspas, ésta se moverá en el fluido pero no girará alrededor de su eje. EJEMPLO El campo de velocidades F x, y, z y î x ĵ x + y es irrotacional. Una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido no girará alrededor de su eje ω. Figura 3.5. Una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido no girará alrededor de su eje ω. 18 Esta versión puede contener errores

193 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA EJEMPLO El campo de velocidades F x, y, z y î x ĵ es rotacional. Una pequeña rueda con aspas moviéndose en el fluido girará alrededor de su eje ω. OBSERVACIÓN 3.8. La siguiente situación ilustra por qué el rotacional está asociado con rotaciones. Consideramos un cuerpo Ω girando alrededor del eje z. El movimiento rotacional se puede describir mediante un vector ω en el eje z, y la dirección se considera siguiendo la regla de la mano derecha. Si ω ω es la longitud del vector ω, v ω ρ, α distq, eje z ρ sen φ ρ sen φ, con ρ ρ, y entonces v ω α ω ρ sen φ, v ω ρ ω y î + ω x ĵ ω y, x,, donde ω ω ˆk y ρ xî + yĵ + zˆk. Más aún, î ĵ ˆk rot v x y ωy ωx z ωˆk ω. Por lo tanto, para la rotación de un cuerpo rígido el rotacional del campo vectorial es un campo vectorial dirigido paralelo al eje de rotación con magnitud igual al doble de la rapidez angular. Figura 3.6. El rotacional está asociado a rotaciones. 183 Esta versión puede contener errores

194 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Integral de línea de un campo vectorial independiente de la trayectoria DEFINICIÓN Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto en R N y sea F : Ω R N un campo vectorial continuo. Decimos que la integral de línea del campo vectorial F es independiente de la trayectoria en Ω si para cualquier par de curvas γ 1 y γ seccionalmente simples y regulares contenidas en Ω, cuyos puntos extremos son comunes, se verifica que F d r1 F d r, γ 1 γ donde r 1 y r son parametrizaciones seccionalmente simples, regulares y suaves de γ 1 y γ respectivamente. El teorema a continuación generaliza al Teorema Fundamental del Cálculo, y es muy útil para el cálculo de integrales de línea de campos vectoriales que son gradientes de campos escalares; en cuyo caso, la integral del campo vectorial gradiente depende solamente de los valores extremos de la curva evaluados en el respectivo campo escalar, obteniéndose un criterio para averiguar cuando una integral de trabajo es independiente de la trayectoria. TEOREMA Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto, conexo y no vacío en R N, y sea f : Ω R una función de clase C 1 en Ω. Si γ es una curva simple, regular y suave en Ω y r : [a, b] R N es una parametrización simple, regular y suave de γ, entonces f d r f rb f ra. γ Demostración. Sea γ una curva seccionalmente regular y suave en Ω parametrizada por la función seccionalmente regular y suave r : [a, b] R 3. Teniendo en cuenta el Teorema Fundamental del Cálculo y el hecho que f es de clase C 1 en Ω, obtenemos b f d r f rt d r t dt γ a dt b d f rt dt dt a f rb f ra. El teorema previo prueba que la integral de línea de un campo gradiente continuo es independiente de la trayectoria en Ω, si Ω es conexo, y, en particular, el valor de esta integral es cero si integramos sobre una curva cerrada contenida en Ω. En efecto, para fijar ideas, consideremos Ω un conjunto conexo abierto y no vacío en R 3, sea f : Ω R un campo escalar derivable en Ω, con derivadas continuas, y sea F : Ω R 3 un campo vectorial continuo tal que F x, y, z fx, y, z x, y, z Ω, 184 Esta versión puede contener errores

195 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA entonces la integral de trabajo de F sobre una curva γ seccionalmente simple, regular y suave contenida en Ω de trayectoria r : [a, b] R 3 seccionalmente regular y suave, está dada por W f d r γ f rb f ra. De esta manera, no nos interesa conocer con precisión cual es la curva γ ni alguna parametrización r de γ, puesto que solo nos basta con saber cuál es el punto inicial y el punto terminal de la curva, a la cual le exigimos que sea seccionalmente regular y suave para efectos de integrabilidad. Un criterio para determinar independencia de la trayectoria TEOREMA Sea N o N 3, sea Ω un conjunto abierto, conexo y no vacío en R N, y sea F : Ω R N un campo vectorial continuo. Entonces, las siguientes tres propiedades son equivalentes: i Existe una función potencial f : Ω R de F. Es decir, F es conservativo. ii Para cada curva γ cerrada seccionalmente simple, regular y suave en Ω se verifica que F d r. γ iii Para cualquier par de curvas γ 1 y γ seccionalmente simples, regulares y suaves en Ω tales que poseen extremos comunes, se verifica que F d r1 F d r, γ 1 γ donde r 1 y r son parametrizaciones seccionalmente simples, regulares y suaves de γ 1 y γ respectivamente. Demostración. i ii Sea γ una curva cerrada, simple, regular y suave contenida en Ω y asumamos que existe una función f de clase C 1 en Ω tal que F f, entonces F d r f d r γ γ f ra f rb. ii iii Sean γ 1 y γ dos curvas simples, regulares y suaves en Ω tales que poseen extremos comunes y asumamos que ii se cumple. Sea r 1 : [a, b] R N una parametrización simple, regular y suave de γ 1 y r : [c, d] R N una parametrización simple, regular y suave de γ, con r 1 a r c y r 1 b r d. Luego, como γ es la curva que invierte la orientación 185 Esta versión puede contener errores

196 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda de γ, obtenemos que γ 1 + γ es una curva cerrada simple, regular y suave, y se verifica que F d r F d r. γ γ Figura 3.7. Curvas con mismo punto inicial y final Luego, si ponemos r : [a, b + d c] R N t rt { r1 t si a t b r t + b + d si b t b + d c, obtenemos que ra rb+d c y que rb r 1 b r d. Así que r es una parametrización simple, regular y suave de la curva γ 1 + γ y como estamos asumiendo que ii se cumple, obtenemos F d r1 F d r F d r1 + F d r γ 1 γ γ 1 γ F d r iii ii Sea γ una curva cerrada, simple, regular y suave en Ω y asumamos que iii se cumple. Poniendo. γ γ 1 + γ γ 1 +γ para algunas curvas γ 1 y γ simples, regulares y suaves tales que poseen extremos comunes verificando que la unión de sus trazas es igual a la traza de γ, desde iii obtenemos que F d r F d r + F d r. γ γ 1 ii i Queremos probar que bajo el supuesto que ii se cumple. γ f : Ω R tal que F f, Sea v en Ω fijo, pero escogido de manera arbitraria, y para cada v Ω consideremos γ v, v una curva simple, regular y suave contenida en Ω tal que su punto inicial es v y su punto 186 Esta versión puede contener errores

197 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA terminal es v. Consideremos también r : [a, b] R N una parametrización simple, regular y suave de γ v, v tal que ra v y rb v. Definamos f : Ω R por w f w F d r. γ v, w La definición de f es correcta pues ya hemos probado ii iii, de manera que da lo mismo cual es la curva γ simple, regular y suave contenida en Ω que conecta v con w, así como también da lo mismo cual es su correspondiente parametrización r simple, regular y suave. Debemos probar que f w F w w Ω. Sea λ ], dist v 1, Ω[, sea h B, 1 fijo, pero arbitrario y extendamos la curva γ v, v por una curva simple, regular y suave γ v, v + λ h cuyo punto inicial es v y cuyo punto terminal es v + λ h. Será suficiente probar que Tenemos, f v + ε h f v ε f v + ε lím h f v F ε + ε v h. 1 F d r ε γ v, v+ε h 1 F d r. ε γ v, v+ε h F d r γ v, v Figura 3.8. Una vecindad sobre γ. Pongamos ahora rt v + t h, para t [, λ]. Se sigue que 1 F d r 1 ε F v + t ε γ v, v+ε h ε h h dt F v + ξ h h 187 Esta versión puede contener errores

198 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda para alguna ξ [, ε], y como ξ + cuando ε + y F es un campo vectorial continuo, obtenemos En resumen, hemos probado que f v + ε lím h f v ε + ε 1 lím F d r ε + ε γ v, v+ε h lím ε + F v + ξ h h F v h. f v h F v h v Ω, h B, 1, de donde se concluye que f F en Ω. Otro criterio para determinar independencia de la trayectoria Ahora damos otro criterio para determinar independencia de la trayectoria PROPOSICIÓN Bajo las condiciones del Teorema 3.8.7, y asumiendo adicionalmente que Ω es un conjunto convexo en R N, y que F es de clase C 1 en Ω, entonces las afirmaciones i, ii y iii del Teorema también equivalen a la siguiente afirmación: iv Para cada i, j 1,..., N se tiene que F i x j F j x i. Si F P, Q es un campo vectorial de clase C 1 definido en un conjunto abierto, convexo y no vacío de R, la condición iv de la Proposición se traduce en P y Q x. Si F P, Q, R es un campo vectorial de clase C 1 definido en un conjunto abierto, convexo y no vacío de R 3, la condición iv de la Proposición se traduce en P y Q x, Q z R y y P z R x, que a su vez equivale a rot F,, en Ω. Luego, bajo las hipótesis de la Proposición 3.8.3, en el caso N 3 la afirmación iv de tal proposición equivale a F es irrotacional en Ω. 188 Esta versión puede contener errores

199 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.8. CAMPOS CONSERVATIVOS E INDEPENDENCIA DE LA TRAYECTORIA EJEMPLO Sea Λ un conjunto abierto y conexo en R que contiene a la bola cerrada B,, 1, sea Ω Λ \ {, } y sea F : Ω R el campo vectorial definido por x, y F y x, y x + y, x x + y. Considerando F P, Q comprueba que P y Q x en Ω, y que sin embargo F no es conservativo. Solución. Para cada x, y Ω se verifica que P x, y y x + y y Qx, y x x + y. Luego, P y x, y x + y + y x + y y x x + y x, y Ω y Q x x, y x + y x x + y y x x + y x, y Ω. Por lo tanto, P y Q en Ω. x Consideremos ahora la circunferencia unitaria γ recorrida una vez en sentido antihorario, y consideremos la función vectorial r : [, π] R definida por t rt cos t, sen t, que es una parametrización simple, cerrada, regular y suave de γ. Tenemos, Entonces, F rt sen t, cos t γ F d r γ π π π. y F rt d r t dt dt d r t sen t, cos t. dt sen t, cos t sen t, cos t dt 1 dt Notemos que Ω es un abierto conexo en R 3 y F es continuo en Ω, por lo que el Teorema es aplicable, y puesto que γ es una curva cerrada y regular para la cual ii del Teorema falla, concluimos que F no es conservativo. Observemos que esto no contradice a la Proposición 3.8.3, pues aunque F es C 1 en Ω, Ω no es convexo en R, y por lo tanto la proposición no es aplicable. 189 Esta versión puede contener errores

200 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJERCICIOS Calcula la integral de línea,3, 4 1,1,1 x dx + y dy z 3 dz.. Calcula la integral de línea a,b,c a 1,b 1,c 1 x dx + y dy + z dz x + y + z, donde a 1, b 1, c 1 pertenece a la esfera x + y + z R 1 y a, b, c pertenece a la esfera x + y + z R, con R > R 1 >. 3. Considera el campo gravitacional Gρ, θ, φ m M g ˆρ ρ ρ, θ, φ ], [ ], π] ], π], donde m es la masa de una partícula que es atraída por una masa M en el origen de R 3, g es una constante gravitacional, y ρ es la distancia al origen. Si M fuese la masa de la Tierra, ρ sería la distancia al centro de la Tierra y g sería la constante gravitacional de Newton. Muestra que G es un campo vectorial conservativo. 4. Encuentra, si es posible, una función potencial para el campo vectorial F x, y, z y cos x + z 3, 4 + y sen x, 3xz + x, y, z R Muestra que 6x + y dx + 4xy z dy yz dz γ es independiente de la trayectoria de cualquier curva γ seccionalmente regular y suave en R 3, y determina su valor para una tal curva con punto inicial 1,, 1 y punto terminal 4,,, de la siguiente forma: a Determinando una función potencial, b Determinando una poligonal de lados paralelos a los ejes coordenados. 6. Muestra que el campo vectorial es conservativo. F x, y 3x y +, x 3 + 4y 3 x, y R 7. Muestra que todo campo vectorial conservativo de clase C 1 es irrotacional. 19 Esta versión puede contener errores

201 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.9. EL TEOREMA DE GREEN 8. Muestra que el campo vectorial y F x, y, z x + y, x x + y, z x, y, z R 3 \ {,, t : t R} es irrotacional y que, sin embargo, no verifica que F d r, γ donde γ es la circunferencia x + y 1 en el plano xy recorrida en sentido antihorario. Contradice esto al Teorema y la Proposición 3.8.3? Justifica tu respuesta. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 3.9. El Teorema de Green En esta sección enunciaremos un teorema que expresa una integral doble sobre una región D del plano cartesiano en términos de una integral de línea respecto de una curva cerrada γ que corresponde a la frontera FrD de la región D recorrida en sentido antihorario. Ahora damos uno de los resultados principales de esta sección. TEOREMA Teorema de Green para dominios simplemente conexos Sea D una región en R cuya frontera FrD es la traza de una curva simple, cerrada, suave y seccionalmente regular, sea Ω un conjunto abierto en R tal que D FrD Ω, y sea F : Ω R un campo vectorial de clase C 1 tal que F x, y P x, yî + Qx, yĵ P x, y, Qx, y x, y Ω. Si FrD es recorrida en sentido antihorario, entonces se verifica que Q F d r P dx + Q dy x P da. y FrD FrD D EJEMPLO Calcula x + y dx xy dy γ si γ representa los lados del cuadrado de vértices 1,,, 1, 1, y, 1 recorrido en sentido antihorario. 191 Esta versión puede contener errores

202 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Solución. Pongamos F x, y P x, y, Qx, y x + y, xy. Claramente se trata de un campo vectorial de clase C 1 en R y se verifica que Q x x, y y y P x, y y, y de donde obtenemos que Q P x, y x, y 3y. x y Por otro lado, la curva determinada por el cuadrado de vértices 1,,, 1, 1, y, 1 recorrido en sentido antihorario es una curva simple, cerrada, suave y seccionalmente regular. Luego, podemos aplicar el Teorema de Green para dominios simplemente conexos. Obtenemos γ x + y dx xy dy D Q 3 P x, y x y x 1 x y dy dx + x, y dy dx 1 1 x x 1 y dy dx 3 x x 1 dx + 1 x 1 x dx. Figura 3.9. Región encerrada por los lados del cuadrado de vértices 1,,, 1, 1, y, 1 recorridos en sentido antihorario. 19 Esta versión puede contener errores

203 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.9. EL TEOREMA DE GREEN TEOREMA 3.9. Teorema de Green para dominios múltiplemente conexos Sea D R una región cuya frontera FrD está constituida por n + 1 curvas simples, cerradas y seccionalmente regulares, a saber: γ, γ 1, γ,..., γ n, tales que: i la región encerrada por γ incluye en su interior a cada γ i, i 1,,..., n, ii γ i γ j si i j, iii ninguna de las γ i está contenida en la región encerrada por otra γ j. Si Ω R es un abierto tal que D FrD Ω, y F : Ω R es un campo vectorial de clase C 1 tal que F x, y P x, yî + Qx, yĵ P x, y, Qx, y y FrD es recorrida en sentido antihorario, entonces Q F d r x P da + y o bien OBSERVACIÓN γ γ P dx + Q dy D D Q x P da + y n i1 n i1 γ i F d r γ i P dx + Q dy. En el teorema anterior todas las curvas involucradas en las integrales están dadas en sentido antihorario; esto es: γ, γ 1, γ,..., γ n están recorridas en el sentido antihorario usual. Recordemos que si γ es recorrida en sentido antihorario, entonces γ recorre a la traza de γ en sentido horario, comenzando en el punto terminal de γ. Luego, si F es un campo vectorial continuo, y r es una parametrización simple, regular y suave de la curva γ en el interior de Dom F, entonces se verifica que F d r F d r. γ γ EJEMPLO 3.9. Calcula γ y x + y dx + x x + y dy si γ es una curva cerrada, simple, regular y suave, recorrida en sentido antihorario, y tal que el interior de la región encerrada por γ contiene al origen. Solución. Notemos que F x, y P x, y, Qx, y y x + y, x x + y no es C 1 en regiones que contienen al círculo unitario. Sin embargo, F si es C 1 en R \ {, }. Luego, si a la región D encerrada por γ recorrida en sentido antihorario le quitamos el círculo 193 Esta versión puede contener errores

204 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda B ε de centro en el origen y radio ε, con < ε < 1 cuya frontera es la circunferencia de centro, y radio ε, a la que asociamos la curva γ ε que la recorre en sentido antihorario, entonces sobre la región D D \ B ε es posible aplicar el Teorema 3.9. de Green para dominios múltiplemente conexos. Figura 3.3. Región D D \ B ε, donde D es una región que contiene al origen y está encerrada por la curva γ que es cerrada, simple, regular y suave, recorrida en sentido antihorario; y B ε es el círculo de centro en el origen y radio ε, cuya frontera es recorrida en sentido antihorario. Obtenemos γ y x + y dx + x Q x + y dy D x P da + y γ ε y x + y dx + x x + y dy. Ahora, como y se sigue que P y x, y x + y + y x + y x + y x + y Q x x, y x + y x x + y x + y x + y, Q x P y en D, y sobre γ ε se tiene que x + y ε, así que γ y x + y dx + x x + y dy 1 ε Ahora, podemos concluir de dos formas diferentes: γ ε y dx + x dy. Primera forma. Consideremos F 1 x, y y, x y parametrizamos γ ε mediante la función vectorial rt ε cos t, ε sen t, con t [, π]. Luego, F 1 rt ε sen t, cos t 194 Esta versión puede contener errores y d r t ε sen t, cos t, dt

205 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 3.9. EL TEOREMA DE GREEN de donde Por lo tanto, y dx + x dy d r F rt t dt γ ε γ ε dt γ π ε sen t, cos t ε sen t, cos t dt π ε sen t + cos t dt ε π. y x + y dx + x x + y dy 1 ε π. γ ε y dx + x dy Segunda forma. Consideremos F 1 x, y y, x P 1 x, y, Q 1 x, y y usemos el Teorema de Green para dominios simplemente conexos. Claramente P 1 y 1 y Q 1 x 1 de donde obtenemos que Q 1 x P 1 y. Ahora, como B ε el círculo encerrado por γ ε, por el Teorema de Green para dominios simplemente conexos obtenemos Q1 y dx + x dy γ ε B ε x P 1 da y da B ε ε π, pues el área de B ε, que es el círculo centrado en el origen y de radio ε, es πε. Se sigue que γ y x + y dx + x x + y dy 1 ε π. γ ε y dx + x dy 195 Esta versión puede contener errores

206 CAPÍTULO 3. CURVAS EN R Y EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJERCICIOS Calcula el trabajo del campo vectorial F x, y xy x, x + y sobre la frontera de la superficie encerrada por las curvas y x y x y, recorrida en sentido antihorario. Verifica el Teorema Evalúa γ F d r, donde γ es la elipse 9x + 4y 36 recorrida en sentido antihorario, donde x F x, y x + y + y, y x + y + x. 3. Sea a >. Evalúa la integral de línea γ y dx + x a dy x a + y sobre cualquier curva γ cerrada, simple, regular y suave recorrida en sentido antihorario de forma tal que a el punto a, no pertenece a la curva ni a la región que ella encierra b el punto a, pertenece a la región encerrada por la curva. 4. Sean a> y b>. Calcula el área de la región acotada limitada por la elipse x a + y b Sea a >. Halla el área de la región del primer cuadrante acotada por un arco de la cicloide rt a t a sen t, a a cos t, t [, π]. 6. Calcula γ e x y cosxy dx + e x y senxy dy, donde γ es la circunferencia x + y a, a >, recorrida en sentido antihorario. 7. a Muestra que el campo vectorial F x, y x 3 xy 3 î 3x y ĵ es un campo vectorial gradiente. b Evalúa γ F d r, donde γ es la curva de trayectoria rt cos 3 t, sen 3 t, t [, π ]. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 196 Esta versión puede contener errores

207 Capítulo 4 Superficies en R 3 En el presente capítulo estudiaremos superficies en el espacio tratando de llevar un enfoque similar al desarrollado en el capítulo previo sobre curvas en el plano y en el espacio Superficies en R 3 Intuitivamente, una superficie en R 3 es una superficie que se puede obtener a partir de una región plana que se ha deformado doblado, enrrollado, empujado, estirado, encogido. EJEMPLO Un círculo en R, representa una superficie plana en R 3. EJEMPLO 4.1. En general, una superficie de R 3 no representa la gráfica de una función real en dos variables en la forma z fx, y. Figura 4.1. Una región rectangular de R que se ha deformado doblándola para que adquiera forma de una S, con ciertas zonas de la superficie paralelas, no tiene la forma z fx, y. EJEMPLO El manto de un toro. Figura 4.. Región rectangular de R que se ha deformado dándole la forma de un tubo cilíndrico circular recto y a partir de él, el manto del toro, obtenido al doblar el tubo en torno a un eje, hasta pegar sus extremos. 197

208 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN Superficie en R 3 Sea D un conjunto conexo en R y sea Φ : A R R 3 u, v Φu, v xu, v, yu, v, zu, v, donde A es un conjunto abierto en R que contiene a D, una función continua e inyectiva. Si S ΦD Rec Φ, entonces decimos que S es una superficie en R 3 y que la función Φ es una parametrización o representación paramétrica de la superficie S. OBSERVACIÓN En general, asumimos que el conjunto D en la definición previa es un conjunto cerrado y acotado en R, a menos que se señale otra cosa. En la definición previa, la función Φ puede entenderse como una función que transforma una región plana D en R en una superficie S en R 3. Figura 4.3. Función vectorial Φ sobre una región D R. DEFINICIÓN 4.1. Sea S una superficie en R 3 y sea Φ : D R R 3 una parametrización de S. Decimos que: P x, y, z R 3 pertenece a la superficie S si u, v D tal que P Φu, v. El conjunto { P R 3 : u, v D tal que P Φu, v} es la traza de la superficie S. P Φu, v S se denomina punto múltiple si existe más de un punto u, v D D \ D tal que P Φu, v. S es simple si no tiene puntos múltiples. Es decir, S es simple si Φ : D R es inyectiva, donde D D \ D. S es suave si posee una parametrización Φ C 1 D, R 3, en cuyo caso también decimos que Φ es suave. 198 Esta versión puede contener errores

209 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R 3 OBSERVACIÓN 4.1. Tal como con las curvas, es deseable clasificar las superficies en cerradas, orientables y regulares. Para ello, necesitamos algunos elementos previos. Sea S una superficie parametrizada por Φ : D R R 3, con Φ suave es decir, de clase C 1, y sea u, v D un punto que está fijo. Entonces: u Φu, v define una función vectorial de variable u v está fijo cuya imagen es una curva suave en R 3, y el vector tangente a esta curva en el punto Φu, v R 3 Φ u u, v Φ u u, v x u u, v î + y u u, v ĵ + z u u, v ˆk. De forma análoga, v Φu, v define una función vectorial de variable v u está fijo cuya imagen es una curva suave en R 3, y el vector tangente a esta curva en el punto Φu, v R 3 es Φ v u, v Φ v u, v x v u, v î + y v u, v ĵ + z v u, v ˆk. Como los vectores Φ u y Φ v son tangentes a dos curvas contenidas sobre la superficie S ΦD que contienen al punto Φu, v, entonces ellas deben determinar el plano tangente a la curva en el punto Φu, v. Luego, un vector normal a la superficie S en tal punto está dado por Φ u u, v Φ v u, v. DEFINICIÓN Sea S una superficie parametrizada por Φ : D R R 3, con Φ suave. Decimos que: u, v D es un punto singular de Φ si Φ u u, v Φ v u, v,,. u, v D es un punto regular de Φ si Φ u u, v Φ v u, v,,. Φ es una parametrización regular de la superficie S si todos los puntos en D son regulares. S es una superficie regular si admite una parametrización regular. S es una superficie seccionalmente regular o regular por trozos si está compuesta por una unión finita de superficies regulares. OBSERVACIÓN Sea Φ una parametrización regular en u, v de una superficie S. El vector normal a la superficie S en el punto Φu, v está dado por nu, v Φ u u, v Φ v u, v Φ u u, v Φ v u, v. La ecuación del plano tangente a la superficie S en el punto Φu, v x, y, z está dada por x x, y y, z z nu, v. 199 Esta versión puede contener errores

210 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda El vector normal unitario a la superficie S parametrizada por Φ en el punto u, v está dada por ˆnu, v nu, v nu, v Φ u u, v Φ v u, v Φ u u, v Φ v u, v Figura 4.4. Parametrización de una superficie mediante en R 3 a una superficie en el plano R. DEFINICIÓN Consideremos la notación dada en la Definición 4.1., la Observación 4.1. y la Observación Decimos que una superficie S es orientable si admite una parametrización regular Φ : D R R 3, de manera que n y ˆn definen funciones continuas sobre D; es decir, el campo vectorial de los vectores normales a la superficie S es continuo. DEFINICIÓN La frontera de una superficie suave S en R 3 es el conjunto S consistente de todos los puntos x, y, z S para los cuales cada conjunto de la forma M ε x, y, z {x, y, z S : x x, y y, z < ε} es conexo. OBSERVACIÓN Notemos que toda bola de radio ε > pequeño, centrada en x, y, z S contiene puntos en S y puntos fuera de S. Notemos también que, en general, la frontera S de una superficie S en R 3 no coincide con su frontera topológica FrS. EJEMPLO Determina la frontera del hemisferio superior de la esfera de radio R, a saber: { S x, y, z R 3 : z R x z : x + y R }. Solución. Notemos que si x, y, z S es tal que z >, entonces al considerar cualquier bola de radio ε > pequeño centrada en x, y, z, ésta quedará dividida en dos partes, de manera que Mx, y, z será disconexo. Sin embargo, si x, y, z S es tal que z, entonces al considerar cualquier bola de radio ε > pequeño centrada en x, y, z, ésta no quedará dividida Esta versión puede contener errores

211 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R 3 en dos partes, de manera que Mx, y, z será conexo. Por lo tanto, la frontera del hemisferio superior de la esfera de radio R y centro en el origen es el conjunto S {x, y, z : x + y R z }. Figura 4.5. Hemisferio superior de la esfera de radio R y centro en el origen. EJEMPLO Determina la frontera del cilindro circular recto y acotado S { x, y, z R 3 : x + y a z }. Solución. Notemos que si x, y, z S es tal que < z <, entonces al considerar cualquier bola de radio ε > pequeño centrada en x, y, z, ésta quedará dividida en dos partes, de manera que Mx, y, z será disconexo. Sin embargo, si x, y, z S es tal que z o z, entonces al considerar cualquier bola de radio ε > pequeño centrada en x, y, z, ésta no quedará dividida en dos partes, de manera que Mx, y, z será conexo. Por lo tanto, la frontera S del cilindro circular recto y acotado S es la unión de las circunferencias C 1 { x, y, z R 3 : x + y a z } y C { x, y, z R 3 : x + y a z }. Figura 4.6. Cilindro circular recto. 1 Esta versión puede contener errores

212 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO Determina la frontera de la esfera S { x, y, z R 3 : x + y + z R }. Solución. Es fácil chequear que la esfera S no posee frontera, pues si x, y, z S, entonces al considerar cualquier bola de radio ε > pequeño centrada en x, y, z, ésta quedará dividida en dos partes, de manera que Mx, y, z será disconexo. Figura 4.7. Esfera. PROPOSICIÓN Sea S una superficie suave y sea Φ : D R R 3 una parametrización suave de S. Todo punto de S es imagen de un punto de D por Φ, sin embargo, un punto de D no necesariamente tiene su imagen sobre S. El siguiente ejemplo sirve para ilustrar la Proposición EJEMPLO Muestra que la parametrización del cilindro x + y a acotado por los planos z y z que proviene del uso de coordenadas cilíndricas es tal que no todo punto en la frontera de su dominio posee una imagen en la frontera de la superficie. Solución. La parametrización del cilindro x + y a acotado por los planos z y z, que proviene desde el uso de coordenadas cilíndricas, está dada por Φ : [, π] [, ] R 3 θ, z Φθ, z a cos θ, a sen θ, z. Notemos que los puntos de la forma, z R y π, z R tales que z, pertenecen a FrD Fr[, π] [, ], la frontera del dominio de Φ y que sin embargo, las imágenes Φ, z y Φπ, z no pertenecen a S, la frontera de la superficie S, cuando z <. Por otro lado, S proviene de la unión de las imágenes de Φ, z y Φπ, z cuando z. Esta versión puede contener errores

213 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R 3 Figura 4.8. Parametrización del cilindro x + y a acotado por los planos z y z. DEFINICIÓN En R 3 decimos que una superficie es cerrada si divide el espacio es dos regiones, una acotada interior a la superficie y otra no acotada exterior a la superficie. OBSERVACIÓN Todas las superficies cerradas regulares en el espacio son orientables respecto a la dirección escogida como positiva en cada punto. En general, la orientación positiva es la que se escoge saliendo desde la región acotada hacia su exterior, siguiendo la regla de la mano derecha. Figura 4.9. Si S es regular, entonces el campo de vectores normales es continuo, y la superficie es orientable. Más aún, la orientación de la frontera de la curva que encierra la superficie y el campo de vectores normales a la superficie se relacionan mediante la regla de la mano derecha. Los siguientes ejemplos ilustran los conceptos previos. Además, muestran que una superficie admite más de una parametrización y que algunos puntos regulares para una parametrizacón pueden resultar singulares para otra, tal como sucedía en el caso de las curvas. EJEMPLO Muestra que el hemisferio superior de la esfera de radio R y centro en el origen es una superficie simple, suave, regular y orientable, salvo tal vez un conjunto finito de puntos. Solución. Sea S el hemisferio superior de la esfera de radio R y centro en el origen. Como x R para cada x S, podemos parametrizar en coordenadas esféricas la superficie, mediante Φ 1 : [, π ] [, π ] R 3 θ, φ Φ 1 θ, φ R cos θ sen φ, R sen θ sen φ, R cos φ. 3 Esta versión puede contener errores

214 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Observemos ahora lo siguiente: S es simple. En efecto, Φ 1 es biyectiva en ], π] ], π ]. S es suave. En efecto, Φ 1 que es una C 1 -parametrización de S. S es regular salvo tal vez en,, R. En efecto, de acuerdo a la definición de Φ 1, tenemos nθ, φ Φ 1 θ θ, φ Φ 1 θ, φ φ R sen θ sen φ, R cos θ sen φ, R cos θ cos φ, R sen θ cos φ, R sen φ ˆρ ˆθ ˆφ R sen φ sen θ cos θ cos θ cos φ sen θ cos φ sen φ R sen φ cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos φ R sen φ R cos θ sen φ, R sen θ sen φ, R cos φ R sen φ xθ, φ, yθ, φ, zθ, φ. Notemos que nθ, φ,, si y solo si φ. Por otro lado, el único punto del hemisferio superior para el cual φ, es el punto,, R. Por lo tanto, Φ 1 que es una parametrización regular de S salvo en,, R. S \ {,, R} es orientable. En efecto, nθ, φ R sen φ R cos θ sen φ, R sen θ sen φ, R cos φ y ˆnθ, φ cos θ sen φ, sen θ sen φ, cos φ definen funciones continuas sobre [, π] [, π [. Además, 1 sen φ para φ π y por lo tanto el vector normal apunta hacia el lado interior del hemisferio., Figura 4.1. Parametrización del hemisferio superior de la esfera de radio R y centro en el origen. 4 Esta versión puede contener errores

215 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R 3 Cabe preguntarse, Son regulares en los mismos puntos todas las parametrizaciones regulares de una superficie? Veamos que esto no es cierto. EJEMPLO Muestra que no todas las parametrizaciones del hemisferio superior S de la esfera de radio R y centro en el origen son regulares en S \ {,, R}. Solución. El hemisferio superior S de la esfera de radio R y centro en el origen está determinado por el sistema x + y + z R con z z R x + y x, y B,, R, donde B,, R {x, y R : x + y R }. La parametrización de esta superficie en coordenadas rectangulares es: Φ : B,, R x, y R 3 Φ x, y x, y, R x y. Luego, nx, y Φ x x, y Φ x, y y x y 1,,, 1, R x y R x y î ĵ ˆk x 1 R x y y 1 R x y 1 x, y, R x y R x y 1 x, y, zx, y. zx, y Notemos que nx, y está bien definido si zx, y R x y > y que nx, y,, si y solo si 1 x, y, R x y,,. R x y Por lo tanto, la parametrización Φ es regular en,, R, pero no está definida para x, y, z S tal que x + y R, pues en esta situación se verifica que zx, y. Notemos también que el vector normal exterior en coordenadas rectangulares, apunta hacia el exterior del hemisferio, lo cual difiere de la parametrización en el Ejemplo Esta versión puede contener errores

216 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda En los Ejemplos y hemos obtenido dos parametrizaciones de una misma superficie, cada una definiendo un campo de vectores normales continuo, pero con direcciones opuestas. Luego, si una superficie S es orientable, parece natural hablar de vector normal n exterior a la superficie y de vector normal n interior a la superficie, según la orientación de la superficie que escojamos como positiva. Así, podremos distinguir lo que sucede con el vector normal exterior n de una superficie dependiendo de la parametrización que nos demos de ella. DEFINICIÓN Sea S una superficie orientable, sea n el vector normal exterior de acuerdo a la orientación escogida como positiva, y sea Φ una parametrización de S. Decimos que: Φ preserva la orientación de S si Φ u u, v Φ v u, v Φ u u, v Φ u, v nu, v, v Φ invierte la orientación de S si Φ u u, v Φ v u, v Φ u u, v Φ u, v nu, v. v Φ es equivalente a una parametrización Φ 1 de S si, o bien ambas parametrizaciones preservan la orientación de S, o bien ambas invierten la orientación de S. EJEMPLO Sea S el hemisferio superior de la esfera de radio R y centro en el origen, y consideremos como cara exterior de la superficie a aquella de contiene a sus planos tangentes. Son equivalentes las parametrizaciones Φ 1 de S en el Ejemplo y Φ de S en el Ejemplo 4.1.9? Solución. Las parametrizaciones Φ 1 y Φ del hemisferio superior de la esfera de radio R y centro en el origen dadas en el Ejemplo y en el Ejemplo respectivamente, son tales que Φ 1 invierte la orientación y Φ preserva la orientación cuando consideramos como cara exterior de la superficie a aquella de contiene a sus planos tangentes. Por lo tanto, las parametrizaciones Φ 1 y Φ no son equivalentes. EJEMPLO Sea S la superficie de un cono circular recto de radio a y altura h y sean Φ 1, Φ y Φ 3 respectivamente una parametrización esférica, una cilíndrica y una cartesiana de ella. Considerando como cara exterior de la superficie S a aquella de contiene a sus planos tangentes, estudia si estas parametrizaciones son simples, suaves, regulares y/o equivalentes entre sí, y determina una ecuación para los planos tangentes a S. 6 Esta versión puede contener errores

217 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R 3 Solución. Vamos a considerar la superficie S del cono circular recto cuyo vértice está en el origen y es perpendicular al plano xy; esto es, S queda determinada por el sistema x + y a h z con z h y su frontera S queda determinada por el sistema x + y a con z h. Figura Cono circular recto de radio a y altura h. La parametrización en coordenadas esféricas se obtiene observando que sen φ cat. opuesto a φ hipotenusa a a + h, cos φ cat. adyacente a φ hipotenusa Así que, esta parametrización está dada por h a + h. Φ 1 : [, a + h ] [, π ] R 3 ρ, θ Φ 1 ρ, θ 1 a + h a ρ cos θ, a ρ sen θ, ρh. La parametrización en coordenadas cilíndricas se obtiene observando que r z a h y que la proyección en el plano xy de la superficie es el círculo B,, a { x, y R : x + y a } {r, θ [, a] [, π] : r a}. Así que, esta parametrización está dada por Φ : [, a] [, π] R 3 r, θ Φ r, θ r cos θ, r sen θ, rh. a 7 Esta versión puede contener errores

218 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda La parametrización en coordenadas rectangulares se obtiene observando que x + y z a h y que la proyección en el plano xy de la superficie es el círculo B,, a { x, y R : x + y a }. Así que, esta parametrización está dada por Φ 3 : B,, a R 3 x, y Φ 3 x, y x, y, h x a + y. S es simple. En efecto, Φ 1, Φ y Φ 3 son biyectivas en el interior de sus respectivos dominios sobre sus respectivas imágenes. S es suave. En efecto, Φ 1 o Φ que es suave en D; Φ 3 no lo es, pues no es diferenciable en el origen; es decir,, es un punto singular para Φ 3. Ahora estudiamos el vector normal asociado a cada parametrización. En primer lugar, notemos que nρ, θ Φ 1 ρ ρ, θ Φ 1 ρ, θ θ 1 1 a cos θ, a sen θ, h a ρ sen θ, a ρ cos θ, a + h a + h a ρ a + h a a + h ˆρ ˆθ ˆφ h cos θ sen θ a sen θ cos θ ha ρ cos θ, ha ρ sen θ, ρ h aρ aρ cos θ, a + h a + h h xρ, θ, yρ, θ, a zρ, θ a + h h a sen θ, a + h h define una función continua sobre [, a + h ] [, π ]. ρh a + h 8 Esta versión puede contener errores

219 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R 3 Notemos también que nθ, r Φ r r, θ Φ r, θ θ cos θ, sen θ, h r sen θ, r cos θ, a ˆr ˆθ ẑ h r cos θ sen θ a sen θ cos θ ha r cos θ, ha r sen θ, r h a h a r cos θ, r sen θ, a rh h a xr, θ, yr, θ, a zr, θ h define una función continua sobre [, a] [, π]. Por último, notemos que nx, y Φ 3 x x, y Φ 3 x, y y 1,, h x a x + y, 1, h a y x + y î ĵ ˆk h x 1 a x + y h y 1 a x + y 1 h x + y a x, h a y, x + y h x, a y, a h x x + y h a + y h x, a y, a zx, y x + y h define una función continua sobre B,, a \ {, }. Como una consecuencia del estudio de los vectores normales, obtenemos que S es regular 9 Esta versión puede contener errores

220 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda excepto en,,. Más aún, S resulta orientable donde S es regular, pues los vectores normales definen funciones continuas. Se chequea fácilmente que Φ i invierte la orientación, para cada i 1,, 3, y de esta manera obtenemos que las tres parametrizaciones son equivalentes. Plano tangente: Tenemos, x x, y y, z z h a x, h a y, z, con z x + y. EJERCICIOS Encuentra la frontera, si existe, de la superficie compuesta por el hemisferio x +y +z 1, con z, y el cilindro x + y 1, con z 1.. Encuentra la frontera, si existe, del elipsoide 1 9 x + y z 1 3. Considera la superficie parametrizada por Φ : R R 3 definida por Φx, y, z u cos v, u sen v, u + v. Determina el conjunto donde Φ es regular y encuentre la ecuación del plano tangente a la superficie en el punto Φ1,. 4. Encuentra el plano tangente a la superficie S en R 3 parametrizada por x, y, z u, u sen e v, 1 3 u cos ev en el punto 13,, Considera la superficie S en R 3 parametrizada por Φ : [, 1] [, 4π] R 3, r, θ Φr, θ r cos θ, sen θ, θ. a Indique cuál es la superficie b Encuentra el vector normal unitario c Encuentra el plano tangente a la superficie S en el punto a, b, c d Si a, b, c S, muestra que el segmento de recta horizontal de longitud 1 que va desde el eje z hasta a, b, c pertenece a S y al plano tangente a S en el punto a, b, c. 6. a Encuentra una parametrización para el hiperboloide S : x + y z 5 b Encuentra el vector normal unitario a S c Encuentra el plano tangente a la superficie S en el punto a, b, c, donde a + b 5 d Muestra que las rectas L 1 : a, b, + b, a, 5t y L : a, b, + b, a, 5 pertenecen a S y al plano tangente del ítem c. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 1 Esta versión puede contener errores

221 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R Área de una superficie Por simplicidad, supongamos que D es un rectángulo en R, subdividido en pequeñas celdas, de manera que ΦD S corresponde a una superficie en R 3, también dividida en pequeñas celdas asumiendo que Φ es una parametrización simple, suave y regular de S. Figura 4.1. Partición de una superficie parametrizada, con ΦD S y ΦR ij S ij, donde R ij u i v j, siendo u i u i u i 1 y v j v j v j 1. Notemos que si escogemos δ máx ij { u i, v j } suficientemente pequeño, entonces el área AS ij A ΦR ij resulta muy similar al área de una región plana tangente a S. Específicamente, tenemos que AS ij u i Φu u i, v j v j Φv u i, v j Φ u u i, v j Φ v u i, v j u i v j nu i, v j u i v j. Luego, el área de S es aproximadamente m n AS AS ij j1 i1 m n nu i, v j u i v j. j1 i1 Notando que cuando δ, n, m, concluimos que AS nu, v du dv D donde nu, v Φ u u, v Φ v u, v Φ u u, v Φ v u, v. 11 Esta versión puede contener errores

222 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN Sea S una superficie simple, suave y regular, y sea Φ : D R R 3 una C 1 -parametrización simple y regular de S. Se define el área de una superficie mediante el valor AS dado por AS D nu, v du dv donde nu, v Φ u u, v Φ v u, v Φ u u, v Φ v u, v. EJEMPLO Determina el área de la superficie asociada a la región acotada del paraboloide x + y z que ha sido seccionado por el plano z 4. Solución. Observemos la gráfica de la superficie de paraboloide z x + y, con z 4, y su proyección en el plano xy. S ds, Figura Superficie de paraboloide z x + y, con z 4, y su proyección en el plano xy. Como la proyección en el plano xy de la superficie S asociada a la región acotada del paraboloide x + y z que ha sido seccionado por el plano z 4 corresponde al círculo x + y 4, podemos considerar la siguiente parametrización de S: Φ : [, ] [, π] R 3 Luego, r, θ Φr, θ r cos θ, r sen θ, r. nr, θ Φ r r, θ Φ θ r, θ cos θ, sen θ, r r sen θ, r cos θ, ˆr ˆθ ẑ r cos θ sen θ r sen θ cos θ r cos θ, r sen θ, r, 1 Esta versión puede contener errores

223 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.1. SUPERFICIES EN R 3 de donde nr, θ 4r 4 cos θ + 4r 4 sen θ + r r 4r + 1. Por lo tanto, el área de S es AS π r 4r + 1 dθ dr π r 6 4r r π EJEMPLO Determina el área de la superficie de un toro de radio mayor R y radio menor a. Solución. Consideremos la superficie S de un toro centrado en el origen de radio mayor R y radio menor a. Figura Superficie de un toro de radio mayor R y radio menor a. Evidentemente, podemos considerar la siguiente parametrización de S: Φ : ], π] ], π] R 3 θ, φ Φθ, φ R + a sen φ cos θ, R + a sen φ sen θ, a cos φ. Luego, nθ, φ Φ θ θ, φ Φ φ θ, φ R + a sen φ sen θ, R + a sen φ cos θ, a cos φ cos θ, a cos φ sen θ, a sen φ ˆρ ˆθ ˆφ R + a sen φ sen θ cos θ a cos φ cos θ a cos φ sen θ a sen φ R + a sen φ a cos θ sen φ, a sen θ sen φ, a cos φ, de donde nθ, φ a R + a sen φ. 13 Esta versión puede contener errores

224 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 Por lo tanto, el área de S es [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda π π AS a R + a sen φ dθ dφ π πa R + a sen φ dφ 4π ar. EJEMPLO Sea f : R R una función C 1 -diferenciable, y sea S la gráfica de f. Calcula el área de S cuando consideramos f : D R, con D R. Solución. Consideremos la siguiente parametrización de S: Luego, de donde Φ : D R 3 x, y Φx, y x, y, fx, y. nx, y Φ x x, y Φ y x, y 1,, f x, y x î ĵ ˆk f 1 x, y x f 1 x, y y f x nx, y Por lo tanto, el área de S es AS D x, y, f x, y, 1 y, 1, f x, y y, f f x, y + x, y. x y f f x, y + x, y dy dx. x y EJERCICIOS Sea S la parte acotada del paraboloide z 1 x y, ubicada sobre el plano xy. Determina su área.. Determina el área de la cubierta del hemisferio x + y + z, z, cortada por el cilindro x + y Esta versión puede contener errores

225 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.. INTEGRALES DE SUPERFICIE DE CAMPOS ESCALARES 3. Calcula el área de un helicoide de radio a y altura de paso h. 4. Sea f : [a, b] R una función de clase C 1 en [a, b], y sean R f y S f las superficies obtenidas al hacer girar la curva y fx, x [a, b], en torno al eje x y en torno al eje y respectivamente. Calcula las áreas AR f y AS f considerando f, y b > a. Para ver las Soluciones de los Ejercicios 4.1. presiona aquí A 4.. Integrales de superficie de campos escalares DEFINICIÓN 4..1 Integral de superficie de un campo escalar Sea S una superficie simple, suave y regular, sea Φ : D R R 3 una C 1 -parametrización simple y regular de S, y sea f : Ω R 3 R un campo escalar continuo en Ω, siendo Ω un conjunto abierto que contiene a S. Entonces, llamamos integral de superficie del campo escalar f sobre la superficie S a la integral f Φu, v nu, v du dv f ds. D donde nu, v Φ u u, v Φ v u, v Φ u u, v Φ v u, v. OBSERVACIÓN 4..1 Se puede probar que la integral de superficie de un campo escalar no depende de la parametrización simple, regular y suave escogida de la superficie, ni de la orientación de tal superficie. OBSERVACIÓN 4.. La definición 4..1 se puede extender a superficies S seccionalmente regulares, que es cuando existen superficies S i, para i 1,,..., k, simples, regulares y suaves que se traslapan a lo más en sus bordes, y que son tales que S S 1 S... S k. En este caso, obtenemos S f ds k i1 S i f ds i, donde las parametrizaciones Φ i de las respectivas curvas S i son suaves. S EJEMPLO 4..1 Sea S la superficie determinada por la ecuación z x +y, con z 4. Evalúa la integral de superficie 1 + z + 3x + y ds. S Solución. Consideremos la siguiente parametrización de S: Φ : D R 3 x, y Φx, y x, y, fx, y x, y, x + y. donde D B,, {x, y R : x + y 4}, que corresponde a la proyección sobre el 15 Esta versión puede contener errores

226 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda plano xy de la superficie z x + y, cuando z 4. Figura Superficie de paraboloide z x + y, con z 4, y su proyección en el plano xy. De acuerdo al Ejemplo , observamos que y Luego, S nx, y Φ x x, y Φ y x, y f x, y, f x, y, 1 x y x, y, 1 nx, y Φ x x, y Φ y x, y f f 1 + x, y + x, y x y 1 + 4x + y. 1 + z + 3x + y ds D D D π f Φx, y nx, y dx dy 1 + 4x + y 1 + 4x + y dx dy 1 + 4x + y dx dy 1 + 4r r dθ dr r r π + r4 36π. r 16 Esta versión puede contener errores

227 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UN CAMPO ESCALAR 4.3. Aplicaciones de la integral de superficie de un campo escalar Masa, centro de masa y momentos de una superficie Masa: Fórmulas para la masa y el momento de capas muy delgadas en el espacio xyz S M ρx, y, z ds Primeros momentos con respecto a los planos coordenados: M yz x ρx, y, z ds, M xz y ρx, y, z ds y M xy z ρx, y, z ds Centro de masa: x, ȳ, z x M yz M, S S ȳ M xz M y z M xy M. Momentos de inercia segundos momentos con respecto a los ejes coordenados: I x y +z ρx, y, z ds, I y x +z ρx, y, z ds y I z x +y ρx, y, z ds S S Momentos de inercia con respecto a una recta L: I L rx, y, z ρx, y, z ds donde rx, y, z es la distancia del punto x, y, z a la recta L S Momento de inercia respecto al origen momento polar: I x + y + z ρx, y, z ds Radio de giro con respecto a una recta L: S R L IL M EJEMPLO Calcula el centro de masa de un hemisferio superior de la esfera de radio a y densidad constante ρ x. Solución. Consideremos el hemisferio superior de la esfera de radio a centrada en el origen, determinada por el sistema x + y + z a, con z. Notemos que podemos parametrizar la S S 17 Esta versión puede contener errores

228 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda superficie en coordenadas rectangulares mediante Φ : B,, a R 3 definida por x, y Φx, y x, y, fx, y x, y, a x y, y así nx, y Φ x x, y Φ y x, y f x, y, f x, y, 1 x y x a x y, y a x y, 1, de donde nx, y Φ x x, y Φ y x, y x + y + a x y a x y a a x y. Como la proyección de la superficie en el plano xy es la región D {x, y R : x + y a}, tenemos M S x ρx, y, z ds D ax π ax π nx, y da a π a x dθ a x π. r dr dθ a r ra a r dθ Notemos que si de antemano hubiésemos sabido que la superficie de la semiesfera de radio a mide a π, entonces hubiésemos obtenido de inmediato M S x ρx, y, z ds S a x π. ds r 18 Esta versión puede contener errores

229 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE DE UN CAMPO ESCALAR Ahora, por simetría, es claro que x y que ȳ, por lo cual resta calcular z. Tenemos M xy z ρx, y, z ds S x D ax π ax π a x y nx, y da a r r dr dθ ra r 1 π a3 x dθ a 3 x π. Notemos que z a x y, y que el área de un círculo de radio a es a π, luego, podríamos haber obtenido inmediatemente M xy S x dθ z ρx, y, z ds D ax a 3 x π. D a x y nx, y da En conclusión, el centro de masa está en el punto,, a. da EJEMPLO 4.3. Calcula la masa de la porción del plano x + y + z 1 en el primer octante si la densidad de área en un punto x, y, z cualquiera en la superficie es k x [ kg m ], donde k es una constante. Solución. Consideremos la superficie determinada por el sistema x + y + z 1, con x, y y z. Notemos que podemos parametrizar la superficie en coordenadas rectangulares mediante Φ : D R R 3 definida por x, y Φx, y x, y, fx, y x, y, 1 x y, y así nx, y Φ x x, y Φ y x, y f x, y, f x, y, 1 x y 1, 1, 1, 19 Esta versión puede contener errores

230 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda de donde nx, y 3. Como la proyección de la superficie en el plano xy es la región D {x, y R : x + y 1 : x : y }, tenemos M S k k 3 k 3 ρx, y, z ds x nx, y da D 1 1 x 1 k Por lo tanto la masa es 1 1 k 3[kg]. EJERCICIOS x dy dx 1 x x dx k x x4 x Sea f : R 3 R el campo escalar definido por { 1 x y z si x + y + z 1 fx, y, z si x + y + z > 1. x Calcula Ft S f ds si S es la superficie x + y + z t.. Sean S 1 la esfera de ecuación x + y + z a y S la superficie del octaedro, inscrito en la esfera, x + y + z a. Calcula el valor de I 1 I si I 1 x + y + z ds 1 S 1 e I x + y + z ds. S 3. Halla la masa de la semiesfera x + y + z a, z, cuya densidad de masa en cada punto es ρx, y, z z a. 4. Halla el centro de masa de la superficie homogénea z x + y recortada por la superficie x + y ax. 5. Halla los momentos polares de inercia de las siguientes superficies S: a la superficie del cubo máx{ x, y, z } a b la superficie total del cilindro x + y R, z h. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A Esta versión puede contener errores

231 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.4. INTEGRALES DE SUPERFICIE SOBRE CAMPOS VECTORIALES 4.4. Integrales de superficie sobre campos vectoriales DEFINICIÓN Sea Ω un abierto en R 3, sea F : Ω R 3 un campo vectorial y sea S Ω una superficie regular y orientable según el campo de vectores normales n : S R 3. Llamamos integral de superficie del campo vectorial F a través de la superficie S al valor de la siguiente integral: F ˆn ds. S OBSERVACIÓN Se puede probar que la integral de superficie de un campo vectorial no depende de la parametrización simple, regular y suave escogida de la superfice. Sin embargo, sí depende de la orientación de tal superficie. OBSERVACIÓN 4.4. La definición se puede extender a superficies S seccionalmente regulares, suaves y orientables, que es cuando existen superficies S i, para i 1,,..., k, simples, regulares y suaves que se traslapan a lo más en sus bordes, y que son tales que S S 1 S... S k. En este caso, obtenemos F ˆn ds S k i1 S i F ˆn dsi, donde las parametrizaciones Φ i de las respectivas curvas S i son suaves. NOTACIÓN Se puede escribir indistintamente F d S o F ˆn ds o bien S S D F Φ n da. En efecto, si S es una superficie suave, regular y orientable, y Φ es una parametrización de S que preserva su orientación, entonces F d S S D D S F Φu, v nu, v du dv F Φ F ˆn ds, nu, v nu, v du dv nu, v donde ds mide en unidades de área sobre la superficie S S es un subconjunto del espacio xyz; mientras que en términos de la parametrización Φ, ds corresponde a nu, v du dv, que mide en unidades de área sobre la región D D es la región del plano uv asociada a la parametrización Φ de la superficie S. Por último, mencionamos que en algunos libros, como el de Thomas Jr., la notación para ds es dσ. 1 Esta versión puede contener errores

232 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO Sea S la superficie del plano de ecuación x + y + z 1 ubicada en el primer octante, y sea F : R 3 R 3 el campo vectorial definido por F x, y, z x, sen y, e z. Calcula F x, y, z d S. Solución. Consideremos la siguiente parametrización de S: Φ : D R 3 S x, y Φx, y x, y, fx, y x, y, 1 x y, donde D es la proyección del plano x + y + z 1 sobre e primer cuadrante del plano xy. Luego, nx, y Φ x x, y Φ y x, y f x, y, f x, y, 1 x y 1, 1, 1. Se sigue que Figura Superficie del plano x + y + z 1 ubicada en el primer octante. Esta versión puede contener errores S F x, y, z d S D 1 1 x 1 1 x 1 1 F Φx, y nx, y dy dx x, sen y, e z 1, 1, 1 dy dx x + sen y + e 1 x y dy dx x y cos y e 1 x y y1 x y dx x 1 x cos1 x + e 1 x dx x 3 3 x4 x1 + sen1 x e1 x 4 11 sen 1 + e. 1 dx x

233 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE SOBRE UN CAMPO VECTORIAL 4.5. Aplicaciones de la integral de superficie sobre un campo vectorial Flujo Supongamos que una placa metálica recibe calor por una cara y frío por la otra. La temperatura en cada punto de la placa produce un campo escalar T x, y, z de temperatura. El flujo real del calor se puede representar con flechas indicando la dirección y magnitud del flujo de calor. La energía o campo vectorial del flujo de calor está dado por J κ T, donde κ > es la constante de conductividad del calor. El calor fluye de zonas calientes a zonas frías, pues T apunta en la dirección hacia donde la temperatura T decrece. EJEMPLO El movimiento giratorio se describe mediante el campo vectorial F x, y y î + x ĵ. EJEMPLO 4.5. El movimiento circular del agua tal como ocurre cuando se quita un tapón de un recipiente se describe aproximadamente por el campo vectorial F x, y y x + y î x x + y ĵ. Cómo podemos calcular el flujo de un campo vectorial F sobre una superficie? Consideremos un fluido sometido a un campo de velocidades y sea S una superficie inmersa en el flujo, con parametrización Φ. La cantidad F Φ ˆn Φ representa la velocidad perpendicular a la superficie S en el punto Φ. Así, en un pequeño lapso de tiempo t el volumen de líquido que atraviesa un elemento ij de superficie A ij u i v j es: Como obtenemos V ij t V ij F Φ t A ij. A ij Φ u u i, v j Φ v u i, v j u i v j F Φūi, v j ˆn Φūi, v j Φu u i, v j Φ v u i, v j u i v j Entonces la variación del volumen total en S será aproximadamente la suma de todas las contribuciones, a saber V total t n i1 j1 m F Φūi, v j ˆn Φūi, v j Φu u i, v j Φ v u i, v j u i v j. 3 Esta versión puede contener errores

234 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda De aquí, pasando al límite, obtenemos que el flujo instantáneo volumen por unidad de tiempo que atraviesa la superficie S en el sentido del campo de los vectores normales determinado por la parametrización Φ es F ˆn ds S DEFINICIÓN Sea Ω un abierto en R 3, sea F : Ω R 3 un campo vectorial que representa un campo de velocidades, y sea S Ω una superficie regular y orientable según el campo de vectores normales n : S R 3. Llamamos flujo de F a través de la superficie S al valor de la siguiente integral: F ˆn ds. S EJEMPLO Calcula el flujo del campo F x, y, z x î + yx ĵ + zx ˆk a través de la superficie triangular de vértices 1,,,,, y,, 3 orientada según ˆn con componente z positiva. Solución. La ecuación del plano se obtiene de la siguiente forma. Consideramos los puntos dos a dos en los planos x, y y z, y obtenemos las respectivas rectas contenidas en ellos 3y + z 6, 3x + z 3 y x + y. Multiplicando cada ecuación previa por convenientes escalares, obtenemos: 3y + z 6, 6x + z 6 y 6x + 3y 6, de donde obtenemos la ecuación del plano que contiene a la superficie triangular, a saber 6x + 3y + z 6. Figura Superficie del plano 6x + 3y + z 6 ubicada en el primer octante. 4 Esta versión puede contener errores

235 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.5. APLICACIONES DE LA INTEGRAL DE SUPERFICIE SOBRE UN CAMPO VECTORIAL Notemos que proyectando al plano z plano xy, vemos que la región de integración está dada por D { x, y R : x 1 : y x }. Así, a partir de la ecuación del plano, podemos considerar la siguiente parametrización Φ : D R 3 x, y Φx, y x, y, fx, y x, y, 3 3y 3x. Tenemos, nx, y Φ x x, y Φ y x, y f x, y, f x, y, 1 x y 3, 3, 1, con componente z >, de donde S F ˆn ds D 1 x 1 x 1 1 F Φx, y nx, y dx dy 3xy x, yx, 3 3y 3x x 3, 3, 1 dy dx 3x + 3 xy + 3x 3 xy 3x dy dx y x y dx 3x x dx 3x x 3 x1 1. x EJEMPLO Determina el flujo de F x, y, z yz ĵ+z ˆk a través de la superficie S del cilindro y + z 1, z, entre los planos x y x 1. Solución. Notemos que la proyección de la superficie del cilindro y + z 1, z, entre los planos x y x 1, está dada por la región rectangular D {x, y R : x 1 : 1 y 1}. 5 Esta versión puede contener errores

236 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Figura Superficie del cilindro y + z 1, z, entre los planos x y x 1 Luego, podemos considerar la siguiente parametrización de la superficie S, Φ : D R 3 x, y Φx, y x, y, fx, y x, y, 1 y. Es fácil chequear que nx, y Φ x x, y Φ y x, y f x, y, f x, y, 1 x y y,, 1 1 y de donde S F ˆn ds D F Φx, y nx, y dy dx., y 1 y, 1 y y + 1 y dx dy dx dy, y 1 y, 1 dy dx EJERCICIOS Calcula S F d S si F x, y, z x î+y ĵ+z ˆk, y S es el triángulo determinado por el plano x + y + z 1 y los planos coordenados, sabiendo que el vector normal n posee componente z positiva.. Calcula S F d S si F x, y, z x î + y ĵ + zˆk, y S es la superficie seccionalmente suave conformada por S 1 {x, y, z R 3 : z 1 x y }; S {x, y, z R 3 : x + y 1 : 1 z }, y S 3 {x, y, z R 3 : x + y 1 : z 1}, con el vector normal apuntando hacia afuera. 6 Esta versión puede contener errores

237 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.6. TEOREMA DE STOKES 3. Calcula S F d S donde F x, y, z xy î x ĵ + x + z ˆk y S es la porción del plano x + y + z 6 que se encuentra en el primer octante, y n apuntando hacia arriba. 4. Calcula el flujo del campo eléctrico Eρ, θ, φ q ˆρ 4π ε ρ, donde ε es la constante dieléctrica, debido a una carga constante q R puesta en a la superficie de la esfera de centro en el origen y radio R, orientada según el vector normal exterior b la superficie del plano z h orientado según la normal superior ˆk. 5. Calcula el flujo del campo vectorial F x, y, z ˆk a través de la superficie del cono x + y z, z, x + y 1, orientada según el vector normal exterior. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 4.6. Teorema de Stokes El Teorema de Stokes nos dará una relación muy importante entre una intregal de trabajo y una integral de flujo, donde el flujo está descrito por un rotacional. TEOREMA Teorema de Stokes Sea S R 3 una superficie seccionalmente regular, luego S es orientable en cada sección cuya frontera es una curva simple cerrada y regular, orientada de acuerdo a la orientación de S es decir, se satisface la regla de la mano derecha respecto a n. Sea F : Ω R 3 un campo vectorial de clase C 1 sobre Ω, con S S Ω. Entonces, F d S F d r. S S NOTACIÓN Conviene tener en cuenta la notación Por esta razón, podemos escribir S rot F F. rot F d S F d S S S S rot F ˆn ds F ˆn ds. 7 Esta versión puede contener errores

238 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Además, en varios textos se usa escribir en negrita una expresión cuando ésta es vectorial. Así, es usual ver en algunos textos la siguiente notación: F F d S ds d r dr o bien d s ds n n aunque en algunos textos este se interpreta como el vector normal unitario. De esta forma, en el texto de Thomas Jr., el Teorema de Stokes se expresa con la siguiente notación S F n dσ C F dr, aquí n es normal unitario, dσ ds y C S es recorrida en sentido antihorario. En muchas ocasiones, si el contexto no es ambiguo, también se suele suprimir un símbolo integral en la integral de superficie, como en el libro de Marsden y Tromba, donde el Teorema de Stokes se escribe con la notación S F ds S F ds. EJEMPLO Sean E : [, R 3 R 3, t, x, y, z Et, x, y, z y H : [, R 3 R 3, t, x, y, z Ht, x, y, z, con H de clase C 1, representando respectivamente un campo magnético y un campo eléctrico en el tiempo t, sobre una superficie S contenida en R 3, entonces, de acuerdo a la teoría de electromagnetismo E H t, donde E se calcula manteniendo t fijo; y H t se calcula manteniendo x, y y z constantes.de esta forma, si S es una superficie que verifica las hipótesis del Teorema de Stokes, se obtiene la Ley de Faraday S E d r E d S S H S t d S H d t S. Aquí S E d r representa el voltaje alrededor de S y S H d S el flujo de H o flujo magnético. Si S fuese un alambre, una corriente fluiría en proporción a este voltaje. En otras palabras, la Ley de Faraday dice que el voltaje inducido en un circuito cerrado es igual al negativo de la tasa de cambio de flujo magnético a través de una superficie con el circuito como borde. S 8 Esta versión puede contener errores

239 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.6. TEOREMA DE STOKES EJEMPLO 4.6. Usando el Teorema de Stokes, evalúa S F ˆn ds, donde F x, y, z 1 zy, ze x, x sen z, S es el hemisferio z a x y, y ˆn tiene positiva la componente z. Solución. Claramente se satisfacen las condiciones para aplicar el Teorema de Stokes. Figura Superficie del hemisferio z a x y, y ˆn tiene positiva la componente z. Luego, notando que S {x, y, z R 3 : x + y a : z }, podemos escoger la parametrización que recorre S en sentido antihorario, Tenemos, De esta forma, r : [, π] R 3 F rt a sen t,, S F ˆn ds t rt a cos t, a sen t,. S π π y π F d r d r t a sen t, a cos t,. dt F rt d r t dt dt a sen t,, a sen t, a cos t, dt a sen t dt a 1 sen t cos t + 1 t tπ a π. t EJEMPLO Sea S el semielipsoide z 1 x y, orientado de modo que la normal n a b apunta hacia arriba, y sea F x, y, z x î + y ĵ + z tanxyˆk. Calcula S F d S. 9 Esta versión puede contener errores

240 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda Solución. Claramente se satisfacen las condiciones para aplicar el Teorema de Stokes. Figura 4.. Superficie del semielipsoide z hacia arriba. 1 x a y b, orientado de modo que la normal n apunta 1 : z }, podemos escoger la parametri- Luego, notando que S {x, y, z R 3 : x + y a b zación que recorre S en sentido antihorario, Tenemos, De esta forma, r : [, π] R 3 F rt a cos t, b sen t, S F d S 1 3 t rθ a cos t, b sen t,. S π π π. F d r y F rt d r t dt dr d r t a sen t, b cos t,. dt a cos t, b sen t, a sen t, b cos t, dt a 3 cos t sen t + b 3 sen t cos t dt a 3 cos 3 t + b 3 sen 3 t tπ t EJEMPLO Calcula el trabajo del campo vectorial F x, y, z y, x, z sobre la curva γ : x + y a, z, recorrida en sentido antihorario. Solución. Podemos proceder de dos formas diferentes. 3 Esta versión puede contener errores

241 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.6. TEOREMA DE STOKES Primera forma. Escogemos S {x, y, z R 3 : x + y a : z } de manera que S γ, entonces podemos considerar la parametrización que recorre S en sentido antihorario, r : [, π] R 3 t rt a cos t, a sen t,. Tenemos, De esta forma, F rt a sen t, a cos t, S F d r π π y F rt d r t dt dr d r t a sen t, a cos t,. dt a sen t, a cos t, a sen t, a cos t, dt π a 1 + sen t dt a π a 1 sen t cos t + 1 t tπ 3a π. t Segunda forma. Consideremos S y S como en la forma anterior, y notemos que se verifican las condiciones para aplicar el Teorema de Stokes. Consideremos también la parametrización de S dada por Φ : D R 3 donde D B,, a. Luego, rot F Φx, y y x, y Φx, y x, y, fx, y x, y,. î ĵ ˆk x y z y x î + ĵ 3 ˆk nx, y Φ x x, y Φ y x, y,, 1. Entonces, S F d r D D 3 rot F Φx, y nx, y da,, 3,, 1 da D da 3a π. 31 Esta versión puede contener errores

242 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJERCICIOS Verifica el Teorema de Stokes para F x, y, z y î + xy ĵ + xz ˆk y la superficie S correspondiente al paraboloide z a x y, z.. Calcula S v ˆn ds, donde vx, y, z 1 + y x î + x ĵ 5z 3 + yzˆk y S es la superficie correspondiente a la semiesfera x + y + z 16, z, con n teniendo componente z negativa. 3. Verifica el Teorema de Stokes para vx, y, z y î + z ĵ + x ˆk y la superficie S correspondiente a la parte del cilindro x + y 1 ubicada entre los planos z y z x +, con n apuntando hacia afuera. 4. Verifica el Teorema de Stokes para F x, y, z x y î yz ĵ y z ˆk y la superficie S correspondiente al cono z x + y sobre el plano xy. 5. Sea γ una curva simple, cerrada y seccionalmente regular y suave que es frontera de una superficie seccionalmente simple, regular y suave S. Prueba que si f : R 3 R es de clase C 1 en R 3 y g : R 3 R es de clase C en R 3, entonces f g d r f g d S con γ y S orientadas apropiadamente. γ 6. Considera la curva simple, seccionalmente regular y suave γ 4 i1 γ i, donde γ 1 es el segmento de recta que une los puntos 1,, y 1,,, γ {x, y, R 3 : x + y 1 : y }, γ 3 es el segmento de recta que une los puntos 1,, y 1,, y γ 4 {x, y, R 3 : x + y 1 : y }. Calcula γ F d r, donde F es el campo en coordenadas cilíndricas dado por F r, θ, z r 4 sen θ ˆr + r 4 cos θ ˆθ + rθz ẑ. 7. Sean S R 3 la cinta de Möbius parametrizada por la función Φ : [, π] [ 1, 1] R R 3 definida por Φx, y cos x, sen x, + y cos x cos x, cos x sen x, sen x, y sea F : R 3 \ {,, z : z R} R 3 el campo vectorial definido por y F x, y, z x + y, x x + y,. Muestra que S S rot F d S S F d r. Contradice esto el Teorema de Stokes? Justifica apropiadamente su respuesta. Para ver las Soluciones de los Ejercicios presiona aquí A 3 Esta versión puede contener errores

243 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.7. EL TEOREMA DE GAUSS 4.7. El Teorema de Gauss La divergencia y sus propiedades DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R N y sea F : Ω R N un campo vectorial en Ω. Si F F 1, F,..., F N y para x x 1, x,..., x N Ω existen F i x i x para cada i 1,,..., N, entonces llamamos divergencia de F en x al valor div F x N i1 F i x i x. Si para cada x Ω existe div F x, entonces llamamos divergencia de F en Ω al campo escalar div F : Ω R N definido por x div F x DEFINICIÓN 4.7. Sea Ω un conjunto abierto en R N, sea N i1 F i x i x. G { F : Ω R N : F es un campo vectorial en Ω : div F en Ω} y sea F {f : Ω R N : f es un campo escalar en Ω}. Se define el operador divergencia en G, como el operador diferencial div : G F definido por F div F N i1 F i x i. NOTACIÓN Sea Ω un abierto en R 3 y sea F : Ω R 3 un campo vectorial tal que F P, Q, R y existen P x, Q y y R z en Ω. Entonces, podemos poner y la divergencia de F en x, y, z Ω, como div F F x, y, P, Q, R z P x + Q y + R z, div F x, y, z F x, y, z P x x, y, z + Q y R x, y, z + x, y, z. z 33 Esta versión puede contener errores

244 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda DEFINICIÓN Sea Ω un conjunto abierto en R 3 y sea F : Ω R 3 un campo vectorial en Ω tal que existe div F. Si div F en Ω, entonces decimos que F es solenoinal sobre Ω. TEOREMA Propiedades de la divergencia de un campo escalar Sea Ω un conjunto abierto en R N, sean F : Ω R N y G : Ω R N dos campos vectoriales que admiten divergencia en Ω, sean α y β dos números reales y sea f : Ω R un campo escalar que admite gradiente en Ω. Entonces se verifica que, i divα F + β G α div F + β div G ii divff f F + f div G iii Si F admite rotacional en Ω, entonces divrot F El Teorema de Gauss El Teorema de Gauss también conocido como Teorema de Gauss-Ostrogradski o Teorema de la divergencia dará una relación muy importante entre una integral de flujo y una integral de volumen. TEOREMA 4.7. Teorema de Gauss Sea Ω un subconjunto abierto y acotado de R 3 cuya frontera FrΩ es una superficie seccionalmente simple, regular y suave, orientada según el vector normal exterior a Ω y sea F F 1, F, F 3 un campo vectorial tal que F i C 1 Ω, para i 1,, 3. Entonces, Ω F dv Una consecuencia del Teorema de Gauss es la siguiente FrΩ F d S. COROLARIO Sea F un campo vectorial de clase C 1 en una vecindad de x, y, z R 3. Sea Ω r un abierto de frontera orientable tal que x, y.z Ω r y diamω r. Entonces, r F 1 x, y, z lím F d r Vol Ω r S. FrΩ r OBSERVACIÓN El Corolario anterior nos permite interpretar la divergencia de un campo vectorial F como la medida de la expansión de un fluido por unidad de volumen; así que i F x, y, z >, indica que el flujo se expande en el punto es decir, que el número de líneas de fuerza que abandona la superficie es superior al número de líneas de fuerza que ingresan a ella. En este caso el punto actúa como un manantial. 34 Esta versión puede contener errores

245 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.7. EL TEOREMA DE GAUSS ii F x, y, z <, indica que el flujo se contrae en el punto es decir, que el número de líneas de fuerza que abandona la superficie es inferior al número de líneas de fuerza que ingresan a ella. En este caso el punto actúa como un sumidero. iii F x, y, z, indica que el flujo no es afectado en el punto es decir, que el número de líneas de fuerza que entra a la superficie es igual al número de líneas de fuerza que salen de ella. En este caso el punto no afecta el tránsito del flujo. Figura 4.1. Flujo de salida en un punto de la superficie. OBSERVACIÓN 4.7. Si Ω es un subconjunto abierto en R 3 cuya frontera topológica FrΩ es una superficie seccionalmente regular, simple y suave, es usual escribir Ω en vez de FrΩ. Es importante no confundir esta notación con la utilizada para la frontera de una superficie S en R 3, que denotamos por S, pero que en general no corresponde a su frontera topológica. EJEMPLO Sea ΩB, R R 3 y sea F x, y, zx, y, z, x, y, z R 3. Calcula Ω F d S. Solución. Notemos que F x, y, z x, y, z R 3. Luego, desde el Teorema 4.7. de Gauss obtenemos que F d S F dv Ω Ω Ω 3 dv 3 Vol Ω π R3 4 π R Esta versión puede contener errores

246 CAPÍTULO 4. SUPERFICIES EN R 3 [BORRADOR] Salomón Alarcón Araneda EJEMPLO 4.7. Sea Ω el elipsoide x a + y b + z c 1, y sea F x, y, z x+4 cos z e y, y +e x, 6z + senx + y. Calcula Ω F d S. Solución. Notemos que F x, y, z x, y, z R 3. Luego, desde el Teorema 4.7. de Gauss obtenemos que Ω F d S Ω Ω F dv 9 dv 9 Vol Ω πabc 1 πabc. EJEMPLO Con ayuda del Teorema 4.7. de la divergencia, evalúa la integral S F ˆn ds, donde F x, y, z x, 3xy, z y S S 1 S, con S 1 {x, y, z R 3 : x +y x, z 1} y S {x, y, z R 3 : x + y x, z }. Solución. Si a la superficie S le agregamos la superficie S 3 {x, y, z R 3 : x + y x, z 1}, entonces obtenemos el cilindro cerrado C {x, y, z R 3 : x + y x z 1}. Luego, sobre la región cilíndrica Ω correspondiente a la unión entre la región encerrada por el cilindro unida a su superficie Ω S S 3, podemos aplicar el Teorema 4.7. de Gauss. Para ello, notemos que F 1 + 3x 3x 1, y por tratarse de un cilindro, podemos usar coordenadas cilíndricas. 36 Esta versión puede contener errores

247 Salomón Alarcón Araneda [BORRADOR] 4.7. EL TEOREMA DE GAUSS Figura 4.. Cilindro x + y x, con z 1. Se sigue que Ω F ˆn ds π F dv Ω 1 cos θ π π cos θ π π π π π r 3 cos θ r 3r cos θ 1 r dr dz dθ 3r cos θ r dr dθ r cos θ dθ r 8 cos 4 θ cos θ dθ 1 4 8θ + 6 senθ + sen4θ θ π θ π π. Por otro lado, la tapa superior S 3 del cilindro puede parametrizarse mediante Φ : D R 3 r, θ Φr, θr cos θ, r sen θ, 1, donde D { r, θ R : < r cos θ π θ π }. Luego, nr, θ Φ r r, θ Φ θ r, θ cos θ, sen θ, r sen θ, r cos θ, î ĵ ˆk cos θ sen θ r sen θ r cos θ,, r. 37 Esta versión puede contener errores

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